第2章 平面解析几何 板块小结与质量评价 圆锥曲线（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

板块小结与质量评价——圆锥曲线 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值、利用圆锥曲线的定义、几何性质解题等问题，可以结合图形，运用数形结合的思想，化抽象为具体，使问题变得简单． 2．当所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类研究，如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论，故分类讨论思想贯穿整章内容． 3．圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．函数与方程的思想是解决圆锥曲线中最值问题的有力武器，一般要建立目标函数，然后利用函数的性质求解． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　圆锥曲线的定义及标准方程　 1．(2020·全国卷Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　 ) A． B． C．(1,0) D．(2,0) 解析：选B　将直线方程与抛物线方程联立，可得y＝±2，不妨设D(2,2)，E(2，－2)． 由OD⊥OE，可得·＝4－4p＝0，解得p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为. 2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. 3．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　 ) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4A． ∵|AB|＝|BF1|，|AF2|＝2|F2B|， ∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|， ∴|AF1|＋3|AF2|＝4A． 又∵|AF1|＋|AF2|＝2a， ∴|AF1|＝|AF2|＝a， ∴点A是椭圆的短轴端点． 如图，不妨设A(0，－b)， 由F2(1,0)，＝2，得B. 由点B在椭圆上，得＋＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2. ∴椭圆C的方程为＋＝1. 4．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________． 解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上． 因为点M在椭圆＋＝1上， 所以联立方程可得 解得 又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)． 答案：(3，) 题型二　圆锥曲线的性质及应用　 5．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　 ) A．1 B．2 C．2 D．4 解析：选B　焦点F为，由点到直线的距离公式可得＝，所以＋1＝2，p＝2，故选B． 6．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　 ) A．1－ B．2－ C． D．－1 解析：选D　由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝C．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D． 7．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　 ) A． B． C．2 D．3 解析：选A　双曲线－＝1的右焦点F(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，得点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝. 题型三　圆锥曲线的综合问题　 8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.