2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解直线与椭圆的几种位置关系． 2．会判断直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆的交点以及直线被椭圆截得的弦长． 3．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与双曲线、抛物线的位置关系． 重点 难点 重点：直线与圆锥曲线位置关系的应用． 难点：直线与圆锥曲线位置关系的综合问题. 1．直线与圆锥曲线的位置关系 一般地，给定直线l与圆锥曲线C(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，如果联立它们的方程并消去一个未知数后，得到ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 1．判断正误 (1)当直线经过椭圆内部的一个定点时，则直线一定与椭圆相交．(　 ) (2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则k＝±.(　 ) (3)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2个．(　 ) (4)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　 ) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：选C　将方程 x＋y－3＝0与＋y2＝1联立得方程组，由于Δ<0，故方程组无解，所以直线与椭圆相离． 3．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　 ) A． B．2 C． D．15 解析：选A　令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝＝. 4．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　 ) A．4 B．2 C．1 D．－2 解析：选A　因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意． 直线与圆锥曲线的位置关系 [典例]　已知直线l：y＝x＋m与椭圆＋y2＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [解] 　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝－16m2＋80. (1)当Δ>0，即－<m<时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－或m>时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点． [方法技巧] (1)直线与圆锥曲线位置关系的判断方法 (2)利用代数方法判断直线与双曲线、抛物线的位置关系时，注意方程组有一解时，直线与双曲线、抛物线可能是相交的．　　 [对点训练] 1．已知直线l：y＝kx＋2与双曲线C：－y2＝1有两个公共点，则k的取值范围是________． 解析：联立直线l与双曲线C的方程得消掉y得(1－2k2)x2－8kx－10＝0.由直线l与双曲线C有两个公共点，得解得－<k<－或－<k<或<k<.故k的取值范围是∪∪. 答案：∪∪ 2．已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 解：联立直线l与抛物线方程得方程组 可得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0.① (1)当k＝0时，由方程①得x＝， 代入y＝kx＋1得y＝1. 这时直线l与抛物线只有一个公共点. (2)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝4(1－2k)． 当Δ＝0，即k＝时，方程①有一个解，从而直线l与抛物线只有一个公共点； 当Δ>0且k≠0，即k<且k≠0时，方程①有两个解，从而直线l与抛物线有两个公共点； 当Δ<0且k≠0，即k>时，方程①没有实数解，从而直线l与抛物线没有公共点． 综上可得：当k＝0或k＝时，直线l与抛物线只有一个