2.6.3 双曲线的几何性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.6.2　双曲线的几何性质 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 2．能用双曲线的简单几何性质解决问题． 重点 难点 重点：双曲线的几何性质． 难点：双曲线几何性质的应用. 双曲线的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 范围 x≤－a或x≥a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 离心率 e＝且e＞1 渐近线 y＝±x y＝±x 1．双曲线的标准方程与渐近线方程 双曲线的 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 渐近线 直线y＝±x 直线y＝±x 双曲线与渐近线的关系 双曲线在渐近线的左、右两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 双曲线在渐近线的上、下两个区域，与渐近线无限靠近但不相交 2.等轴双曲线有如下性质 (1)方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)； (2)渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长相等，离心率e＝. 3．双曲线与椭圆的六个不同点 双曲线 椭圆 曲线 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e＞1 0＜e＜1 a，b，c关系 a2＋b2＝c2 a2－b2＝c2 4.双曲线形状与e的关系 由等式c2＝a2＋b2，得＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度． 1．双曲线－＝1的顶点坐标是(　 ) A．(±5,0) B．(±5,0)或(0，±3) C．(±4,0) D．(±4,0)或(0，±3) 解析：选A　由双曲线方程可知顶点在x轴上，又a2＝25，∴a＝5，∴顶点坐标为(±5,0)，故选A． 2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　 ) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．－＝1或－＝1 D．x2－＝1或y2－＝1 解析：选D　由题意知2a＝2,2b＝4， ∴a＝1，b＝2， ∴a2＝1，b2＝4，又双曲线的焦点位置不确定，故选D． 3．双曲线－＝1的离心率是(　 ) A． B． C． D． 解析：选C　由双曲线－＝1，得a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝7，∴a＝2，c＝，∴e＝＝，故选C． 4．双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________． 解析：令－＝0，解得y＝±x. 答案：y＝±x [题点一] 根据双曲线方程研究其几何性质 [典例]　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． [解]　将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x. [拓展] 　将本例中双曲线方程换为“nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)”，结论不变，如何求解？ 解：把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程为－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，a＝，b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝2. 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. [方法技巧] 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　　 [对点训练] 1．王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长是4； 乙：该双曲线的虚轴长是2； 丙：该双曲线的焦距为8； 丁：该双曲线的离心率为. 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(　 ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：B 2．(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　 ) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 解析：选ABD　双