2.6.1 双曲线的标准方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

2.6.1　双曲线的标准方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形． 重点 难点 重点：双曲线的定义、标准方程． 难点：双曲线标准方程、定义的应用. (一)双曲线的定义 要注意定义中隐含的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“正常数”． (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“a是一个正常数”改为“a等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 1．动点P到点M(1,0)的距离与点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　 ) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 解析：选D　由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D． 2．(多选)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　 ) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±2 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析：选AC　因为|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知A、C中动点P的轨迹为双曲线，故选A、C． (二)双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 双曲线中一些常用的结论 (1)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－A． (2)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (3)双曲线上的点P(异于顶点)与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因为|F1F2|＝2c，所以有：①定义：|r1－r2|＝2a； ②余弦定理：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；③面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 1．(多选)与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是(　 ) A．－y2＝1 B．y2－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 答案：CD 2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　 ) A．－3＜k＜－2 B．k＜－3 C．k＜－3或k＞－2 D．k＞－2 答案：A 3．设m是常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. 答案：16 [题点一] 利用双曲线的标准方程求参数 [典例]　求满足下列条件的参数的值． (1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值； (2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值． [解]　(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，所以＋k＝32，即k＝6； 若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1， 所以－k＋＝32，即k＝－6. 综上所述，k的值为6或－6. (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1. [方法技巧] 方程表示双曲线的条件及参数范围求法 (1)对于方程＋＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线． (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．　　 [对点训练] 1．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是 (　 ) A．k＞5 B．k＞5或－2＜k＜2 C．k＞2或k＜－2 D．－2＜k＜2 解析：选B　∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)＞0.即 或解得k＞5或－2＜k＜2. 2．(多选)已知方程－＝1