检测评价29 抛物线的几何性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（二十九） 抛物线的几何性质 (一)基础落实 1．若抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x0，)到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，则p等于(　 ) A． B．1 C． D．2 解析：选D　根据焦半径公式|PF|＝x0＋， 所以x0＋＝3x0，解得x0＝， 代入抛物线方程()2＝2p×，解得p＝2. 2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　 ) A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 解析：选D　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D． 3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为(　 ) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2,2) 解析：选B　由题意知，F(1,0)． 设A(x，y)，则y2＝4x　①， 又＝(x，y)，＝(1－x，－y)， 所以·＝x－x2－y2＝－4　②. 由①②解得x＝1，y＝±2，故A点坐标为(1，±2)． 4．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于(　 ) A．2 B．3 C．5 D．7 解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2. 由得x2－5x＋4＝0， ∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.故选D． 5．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　 ) A．2 B．3 C．4 D．0 解析：选B　∵点(x，y)在抛物线y2＝4x上，∴x≥0， ∵z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， ∴当x＝0时，z最小，最小值为3.故选B． 6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为________． 解析：由抛物线的定义，知|MF|＝xM＋＝6，又xM＝2，即＝4，所以2p＝16，据此可知抛物线的方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 7．抛物线的顶点和椭圆＋＝1的中心重合，抛物线的焦点和椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线的方程为___________． 解析：依题意知，椭圆的右焦点F2(4,0)，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，∴p＝8，∴抛物线的方程为y2＝16x. 答案：y2＝16x 8．已知抛物线y2＝mx的焦点F坐标为(2,0)，则m的值为________，若点P在抛物线上，点A(5,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为________． 解析：抛物线y2＝mx的焦点F坐标为(2,0)， 可得＝2，即m＝8，则抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，过P作直线x＝－2的垂线，垂足为C， |PA|＋|PF|＝|PA|＋|PC|≥|AC|， 当A，P，C三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，且为|AC|＝5－(－2)＝7. 答案：8　7 9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， A(x0，y0)，由题知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3. 因为|AM|＝，所以x＋2＝17， 所以x＝8，代入方程x＝2py0，得8＝2p·， 解得p＝2或p＝4. 故所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10．已知点P(2,0)，点Q在曲线C：y2＝2x上． (1)若点Q在第一象限内，且|PQ|＝2，求点Q的坐标； (2)求|PQ|的最小值． 解：(1)设Q(x，y)(x>0，y>0)，则y2＝2x， 由已知条件得|PQ|＝＝2.将y2＝2x代入上式，并变形得x2－2x＝0，解得x＝0(舍去)或x＝2.当x＝2时，y＝±2，只有x＝2，y＝2满足条件，所以Q(2,2)． (2)设Q(x，y)，则|PQ|＝，其中y2＝2x， 所以|PQ|2＝(x－2)2＋2x＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3(x≥0)．所以当x＝1时，|PQ|min＝. (二)综合应用 1．(多选)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝4x上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB，下列结论正确的为(　 ) A．y1y2为定值 B．直线AB过抛物线y2＝4x的焦点 C．S△AOB的最小值为16 D．O到直线AB距离的最大值为4 解析：选ACD　对于A，∵OA⊥OB，∴kOAkOB＝·＝·＝＝－1，∴y1y2＝－16，故A正确；对于B，设直线AB