2.5.1 椭圆的标准方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 2．5.1　椭圆的标准方程   明学习目标 课标 要求 1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景． 2．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 3．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 重点 难点 重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 知结构体系 (一)椭圆的概念 1．定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆． 2．相关概念 两个定点F1，F2称为椭圆的______，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的______． 焦点 焦距 1．对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆． 2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 3.定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数)． 下列说法正确的是 (　 ) A．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知点F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离相等的点的轨迹是椭圆 答案：C (二)椭圆的标准方程 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2－b2 1．椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c)． 2．在两种标准方程中，a2＞b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 3．P是椭圆上的任意一点(不在坐标轴上)，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c)． 答案：A [方法技巧] 1．待定系数法求标准方程的步骤 (1)先确定焦点位置； (2)设出方程； (3)寻求a，b，c的等量关系； (4)求a，b的值，代入所设方程． 2．易错提醒 当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．　 [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] 解决与椭圆焦点三角形有关问题的思路 画出图形，观察图形，充分利用椭圆的定义，正、余弦定理以及三角形的面积公式等来分析解决问题．　　 答案：B 解析：根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7. 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8. 答案：8 [题点三] 与椭圆有关的轨迹问题 [典例]　如图所示，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程． [方法技巧] 与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法． 1．定义法 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法． 2．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(也称相关点法)．　　 答案：A 答案：C 内化素养 逻辑推理 根据椭圆定义及借助基本不等式“和为定值，积最大”，得出答案 直观想象 椭圆上的点与椭圆两焦点的距离和为2a(定值)，联想到基本不等式，实现“积”与“和”的灵活转换，使问题快速得到解决 答案：8 内化素养 直观想象 结合图形，由P，Q在椭圆