2.4.2 圆的一般方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．4.2　圆的一般方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程． 重点 难点 重点：圆的一般方程． 难点：圆的一般方程的应用. 1．圆的一般方程的概念 (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示以为圆心，为半径的圆． 2．圆的一般方程在形式上的特点 (1)x2和y2的系数相等且不为0； (2)不含xy项． 3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 方程表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，为半径的圆 4．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则其关系如表所示： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＜0 (1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0. (2)在圆的一般方程中，系数D，E，F没有明显的几何意义，但在配方后，它们的几何意义是：表示圆心，表示圆的半径． (3)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 1．判断正误 (1)方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆．(　 ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　 ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　 ) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为(　 ) A．r＝1，(－2,1) B．r＝2，(－2,1) C．r＝2，(2，－1) D．r＝1，(2，－1) 解析：选D　x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1)．故选D. 3．已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，它的圆心C(5,0)，则圆C的半径r＝______. 解析：由题意，得－＝5，∴a＝－5， ∴r＝＝4. 答案：4 —————————————————————————————————— 对圆的方程的理解 —————————————————————————————————————— [典例]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， 则D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝ ＝|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. [方法技巧] 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为2＋2＝，根据圆的标准方程来判断． [对点训练] 1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是(　 ) A. B. C．(－∞，0) D. 解析：选A　因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则1＋1－4m＞0，所以m＜.故选A. 2．若方程 a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a的值为(　 ) A．1或－2 B．2或－1 C．－1 D．2 解析：选C　若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则有a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，原方程可变为2x2＋2y2＋2x＋1＝0，配方，得22＋2y2＝－，不表示圆；当a＝－1时，原方程可变为x2＋y2－2x－1＝0，配方，得(x－1)2＋y2＝2，它表示以(1,0)为圆心， 为半径的圆．故选C. ————————————————————