2.4.2 圆的一般方程 导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.2圆的一般式方程 一、【学习目标】 1. 通过自学课本，回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程； 2．通过同伴互助，掌握求轨迹的一般步骤； 3．通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象及数学运算素养． 二、知识梳理 知识点一 圆的一般方程 （1） 当 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为 ，半径为 ． （2） 当 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 ． （3）当 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形． 小结论1：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 小结论2：用待定系数法求圆的方程的大致步骤 （1） 根据题意，选择标准方程或一般方程； （2） 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程． 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点在圆A 点在圆A 点在圆A 知识点三 求轨迹方程的一般步骤 （1）建立适当的坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．（2）列出点M满足条件的集合． （3）用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0. （4）将上述方程化简． （5）证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 四、典例剖析 题型一 圆的一般方程的定义 【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径． 【变式1】已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若方程表示圆，则a的取值范围为 ， 题型二　求圆的一般方程 【例2】求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 【变式3】已知的三个顶点分别为. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 题型三 求动点的轨迹方程 【例3】已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程． 【变式4】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： （1）直角顶点C的轨迹方程； （2）直角边BC的中点M的轨迹方程． 课后巩固 1. 已知曲线，则“”是“曲线是圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）已知圆M的方程为x2＋y2－4x＋2y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(2，－1) B．圆M的半径为 C．点P(3,2)在圆M内 D．直线x＋3y＋1＝0将圆M平分 4．若点在圆的外部，则a的取值范围为 5. 已知动点P到点A(4,1)的距离是到点B(－1，－1)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为______________． 6．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，-4)，经过这三个点的圆记为M. （1）求BC边的中线AD所在直线的一般式方程； （2）求圆M的方程． 7. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$