3.1.2 函数的单调性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

　　　　　　3.1.2　函数的单调性 第 1 课时　函数的单调性及应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性． 2．理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性． 3．理解函数单调性的作用与实际意义，会求函数的单调区间，并判断单调性． 4．能应用函数的单调性解决一些简单问题． 1．增函数与减函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图示 增、减函数 特别地，当函数f(x)在I上单调递增时，我们就称它是增函数 特别地，当函数f(x)在I上单调递减时，我们就称它是减函数 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 微点助解 1．对函数单调性的理解 (1)x1，x2的三个特征 ①任意性：定义中“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x1<x2；③同区间：x1和x2属于同一个单调区间． (2)单调性的两个特性 ①“整体”性：函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． ②“局部”性：指的是一个函数在定义域不同区间内单调性可以不同；即使相同，单调区间与定义域也不一定相同． (3)增、减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x1<x2，f(x1)<f(x2)，符号一致⇔增函数； ②x1<x2，f(x1)>f(x2)，符号相反⇔减函数． 2．对单调区间的理解 (1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，如函数y＝x2＋2x－1的单调递减区间(－∞，－1]⊆(－∞，＋∞)，故在讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． (2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．如：函数f(x)＝在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，但不能说它在整个定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是单调递减的． (3)对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点． [基点训练] 1．判断正误． (1)函数y＝x2在R上是增函数．(　 ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　 ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”．(　 ) (4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，其单调递增区间是(　 ) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 解析：选C　由题图可知，函数y＝f(x)的单调递增区间为[－3,1]．故选C. 3．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是(　 ) A．y＝－ B．y＝x C．y＝－|x| D．y＝1－x 解析：选CD　选项A、B中的函数在(0，＋∞)上都是增函数，选项C、D满足条件． 4．若函数f(x)在[－2,2]上是增函数，则f(－1)________f(2)．(填“>”“＝”或“<”) 解析：∵函数f(x)在[－2,2]上是增函数，且－1<2，∴f(－1)<f(2)． 答案：< 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [典例]　证明函数f(x)＝在区间(2，＋∞)上单调递减． [证明]　设∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2) ＝－ ＝ ＝. 因为2<x1<x2， 所以x2－x1>0，x>4，x>4. 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减． [方法技巧]　利用定义判断或证明函数单调性的步骤 [针对训练] 　试用函数单调性的定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数． 证明：易得f(x)＝2＋，设x1>x2>1， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0.所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [典例]　画出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． [解]　画出函数f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调递增区间为[2，＋∞)． [方法