3.1.1 函数及其表示方法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

第三章 函　数 　　　　　　　　　3.1.1　函数及其表示方法 第 1 课时　函数的概念(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的定义域、值域、对应关系． [多维度理解] 1．函数的概念 函数的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x称为自变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域 函数值 如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值 值域 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 微点助解 对函数概念的理解 (1)集合A，B必须是数集，不能是点集或其他集合，即函数研究的对象是数． (2)集合A，B必须是非空的．如y＝＋ 就不是函数． (3)对应具有方向性与唯一性．方向性是指对应是从集合A到集合B，唯一性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应．如y2＝x，y＝x±1不表示函数，因为它们都不满足对应的唯一性． 2．同一个函数 一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数． 微点助解 关于同一个函数的几点说明 (1)因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的，所以两个函数是不是同一个函数，与函数用什么字母表示无关，例如，函数y＝f(x)＝x2，x∈A与函数u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数． (2)f(x)＝x2和f(x－1)＝x2由于对应关系f所施加的对象不同(前者为x，后者为x－1)，因此两者不是同一个函数． (3)即使两个函数的定义域和值域都分别相同，它们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系．如函数f(x)＝x2，x∈[0,2]和函数g(x)＝2x，x∈[0,2]，它们的定义域相同，都是[0,2]，值域也相同，都是[0,4]，但它们不是同一个函数． [基点训练] 1．判断正误． (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　 ) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　 ) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　 ) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知函数f(x)＝，则f等于(　 ) A.　　 B.　　　C．a　　　D．3a 解析：选D　f＝＝3a. 3．已知四组函数： ①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝； ③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)； ④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 其中是同一个函数的是(　 ) A．没有　　　　　　　　　 B．仅有② C．②④ D．②③④ 解析：选C　对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同． 4．函数y＝的定义域是__________________． 解析：由题意可得所以x≥－1且x≠1， 故函数y＝的定义域为{x|x≥－1且x≠1}． 答案：{x|x≥－1且x≠1} 题型(一)　函数关系的判断 [典例]　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数． (1)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. [解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． (2)对于集合A中的每一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． (3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． (4)对于集合A中每一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． [方法技巧] 1．判断一个对应关系是否为函数的方法 2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [针