3.3 函数的应用（一）3.4 数学建模活动（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教B版2019）

　3.3　函数的应用(一) 　3.4　数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 　　　　　　　　　　　　　　(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2．体会学习过的一次函数、二次函数、分段函数等一些基本函数模型的广泛运用． 3．体会利用常见的函数模型解决一些简单实际问题的过程与方法． 题型(一)　一次函数模型的应用 [典例]　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示． (1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜． [解]　(1)由题图可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x， 得k1＝，k2＝. ∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)． (2)令y1＝y2， 即x＋30＝x，则x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜； 当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜． [方法技巧] 1．一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 2．解决实际问题的具体步骤 [针对训练] 　温州瓯(ōu)柑声名远播，某经销商欲将仓库的120吨瓯柑运往A，B两地销售，运往A，B两地的瓯柑(吨)和每吨的运费如表．设仓库运往A地的瓯柑为x吨，且x为整数. 瓯柑(吨) 运费(元/吨) A地 x 20 B地 30 (1)设仓库运往A，B两地的总运费为y元． ①将表格补充完整；②求y关于x的函数表达式； (2)若仓库运往A地的费用不超过运往A，B两地总费用的，求总运费的最小值． 解：(1)①将表格补充完整为： 瓯柑(吨) 运费(元/吨) A地 x 20 B地 120－x 30 ②y关于x的函数表达式为y＝30(120－x)＋20x＝－10x＋3 600(0≤x≤120，x∈N)． (2)依题意有20x≤(－10x＋3 600)，解得x≤.∵y＝－10x＋3 600，y随x的增大而减少， 又x是整数且0≤x≤120，∴当x＝51时，ymin＝3 090. 因此，总运费的最小值为3 090元． 题型(二)　二次函数模型的应用 [典例]　据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ [解]　(1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝0.1. 所以y＝0.1(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． (2)设月利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－[0.1(x－15)2＋17.5]＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)． 所以月产量为23吨时，可获得最大利润为12.9万元． [方法技巧]　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 [针对训练] 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解：(1)如图，作PQ⊥AF于点Q， ∴PQ＝8－y，EQ＝x－4. ∵PQ∥DF，∴△EDF∽△EPQ. ∴＝，即＝. ∴y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50,4≤x≤8. ∴S(x)是关于x的二次函数，且图象开口向下，对称轴为直线x＝10. ∴当x∈[4,8]时，S(x)单调递增． ∴当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米． 题型(三)　分段函数模型的应