3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数建模，以“苹果最佳出售时间点”为核心，通过生活中价格波动现象导入，引导学生从量的变化抽象出函数关系，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 其亮点在于完整呈现建模全过程，结合香菇存储、经济政策等实例，用二次函数求最值等方法解决问题，培养数学抽象与建模素养。小结提炼“建模五步法”，助学生用数学语言表达现实问题，教师可借结构化案例提升教学效率。

第三章 函数 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 掌握数学建模中的数据拟合（数据分析）：能根据实际采集的数据，用待定系数法拟合变量间的函数关系式，读懂产量、售价、保鲜成本随时间的变化规律，利用函数运算求解利润最大值，提升数据分析素养。 经历从真实生产问题抽象成数学问题、合理假设、建立函数模型、求解、检验模型的全过程，理解数学建模的基本步骤，提升数学抽象、数学建模素养。 数学建模是连接数学和现实世界的桥梁,下面我们用实例来介 绍,怎样从现实世界中发现问题,如何通过数学建模来求解特定的 问题,并探讨怎样整理数学建模的结果, 数学建模 问题1:什么是数学建模活动? 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数 学方法构建模型解决问题的过程. 数学建模 例如一个物体自由下落,位移随时间的变化的关系式为:h=-gt²,(其中 2 重力加速度),则h=-gt²称为该物体的位移随着时间变化的数学模型. 目标一:建模过程简介 发现问题：苹果价格波动 知识讲解 互动探究 新课引入 俗话说，“物以稀为贵”,一般来说,当市面上某种商品的出售量比 较多时,这种商品的价格就会比较低;而出售量比较少时,价格就会 比较高. 例如,当市面上的苹果比较多时,苹果的价格就会降低,这时,如 果利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、 价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收 入,不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时 间的延长而增大, 6 提出问题和分析问题 知识讲解 互动探究 新课引入 针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢? 当然,我们可以探讨的问题很多,例如,为什么会发生这些现象? 什么情况下不会发生这样的现象?能够利用哪些技术手段进行保鲜存储 ?哪种保鲜存储的成本最低?等等,类似的这些问题,因为不仅仅涉及 量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的. 不过,上述现象中,涉及了量的增大与减少的问题,这可以用数学 符号和语言进行描述. 7 建立模型：增减双函数 知识讲解 互动探究 新课引入 仍以苹果为例,设市面上苹果的量为x万吨,苹果的单价为y 元.上述现象说明,y会随着x的增大而减少,且y也会随着x的 减少而增大———也就是说,如果是x的函数并记作 y=f(x)的话 ,f(x)是减函数. 同样地,如果设保鲜存储的时间为t天,单位数量的保鲜存 储成本为C元,且C是的函数并记作C=g(t)的话,g(t)是一个 增函数. 8 建立模型：利润函数 知识讲解 互动探究 新课引入 由于市面上苹果的量x会随着时间t的变化而变化,因此可 以认为x是的函数,并记作x=h(t). 从上面这些描述不难看出,在第t天出售苹果时,单位数量 的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来,即z=y-C=f(x)- g(t)=f(h(t))-g(t). 此时,如果f(x), g(t), h(t)都是已知的,则能得到z与t的具体关 系式,有了关系式之后,就能解决如下问题:z是否有最大值?如果有最 大值,那么t为多少时z取最大值? 怎样才能确定上述f(x), g(t), h(t)呢?这可以通过合理假设以及收 集数据、确定参数来完成. 9 简化模型和确定参数 知识讲解 互动探究 新课引入 例如,为了简单起见,我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数 ,且f(x)=k₁x+l₁, g(t)=k₂t+l₂;并假设h (t)是一个二次函数,且 h(t)= at²+bt+c. 则有 z=f(h(t)) -g(t)=k₁at² + (k₁b-k₂)t+k₁c+ l₁-l₂, 其中k₁<0, k₂>0, a≠0. 上述各参数可以通过收集实际数据来确定,例如,如果 我们收集到了如下实际数据. x/万吨 8.4 7.6 y/元 0.8 1.2 t/天 1 2 C/元 0.11 0.12 t/天 1 2 3 x/万吨 9.462 9.328 9.198 10 计算求解 知识讲解 互动探究 新课引入 利用待定系数法,根据前面的假设就可以确定出y=f(x)=-0.5x+5, C= g(t)=0.01t+0.1, x=h(t)=0.002t²-0.14t+9.6,因此z=-0.001-0.06t+0.1. 注意到上式可以改写成z=-0.001(t-30)²+1,所以此时在t=30时,z 取最大值1.也就是说,在上述情况下,保鲜存储30天时,单位商品所获 得的利润最大,为1元. 这样一来,我们就建立了一个决定苹果的最佳出售时间点的模型,并 通过有关数据进行了说明. 11 验证结果与改进模型 知识讲解 互动探究 新课引入 当然,实际情况与上面的建模结果可能会出现偏差,因为我们假设f(x) 和g(t)都是一次函数等就已经把问题进行了简化,如果条件容许的话,可以先 不假设函数的具体形式,在收集尽量多的数据的基础上,通过对数据的分析 来最终得出函数的具体形式,这样也就能优化我们最终建立的模型, 12 数学建模过程 以上我们用叙述的方式,让大家经历了一个简单的数学建模全过 程,由此可以看出,对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、 用数学方法构建模型解决问题就是数学建模,数学建模过程主要包括: 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模 型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题. 目标二:建模论文 建模论文 知识讲解 互动探究 新课引入 在实际的数学建模过程中,为了向别人介绍数学建模的成果,给 别人提供参考,我们还需要将建模结果整理成论文的形式, 一般来说,数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定,例如,图1、图2、 图3所示都可以是数学建模论文的主体结构. 论文标题 发现问题、提出问题 分析问题、建立模型 确定参数，计算求解 验证结果，改进模型 论文标题 问题的提出与分析 模型的建立与计算 问题的解决与反思 15 建模论文 知识讲解 互动探究 新课引入 论文标题 背景介绍 问题提出与分析 模型假设与符号说明 模型的建立 模型的求解 模型的检验 模型的评价 当然,数学建模论文中还可以根据需要增加作者、摘要、参考文献、 附录等信息。 需要提醒的是,对于一些综合性比较强的问题而言,数学建模的过程 中需要做的事情比较多,比如数据收集与整理、模型试算、对比不同的模 型、将结果以可视化方式展示、资料整理与论文撰写等,因此数学建模的 过程中,往往采用分工合作的方式进行,一般来说,一个数学建模小组由 3~5人组成,理想的小组中,既要有数学基础扎实的同学,也要有能熟练使 用计算机的同学,还要有写作表达能力强的同学, 16 目标三 :典型例题 香菇问题建模应用 例1 某市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞 争力,其中香菇远销日本和韩国等地,上市时,外商李经理按 市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中 .据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存 放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在 冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不 能出售. (1) 若存放x天后,将这批香菇一次性出售,设这批香菇的销售总金额 为y元,试写出y与x之间的函数关系式. 销售金额=售价×销售量 典例分析 牛刀小试 解:由题意y与x之间的函数关系式为 y= (10+0.5x) (2000-6x) =-3x²+940x+20000 (1≤x≤110,且x为整数). 香菇问题建模应用 例1 某市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞 争力,其中香菇远销日本和韩国等地,上市时,外商李经理按 市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中 .据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存 放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在 冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不 能出售. (2) 李经理如果想获得利润22500元,需将这批香菇存放多少天后出 售? 利润=销售总金额一收购成本-各种费用 典例分析 牛刀小试 解:由题意,令-3x²+940x+20000-10×2000-340x=22500, 解方程得:x₁=50,x2=150(不合题意,舍去), 故需将这批香菇存放50天后出售 香菇问题建模应用 例1 某市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞 争力,其中香菇远销日本和韩国等地,上市时,外商李经理按 市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放入冷库中 .据预测,香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元,但冷库存 放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元,而且香菇在 冷库中最多保存110天,同时,平均每天有6千克的香菇损坏不 能出售.各种费用 (3) 李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润?最大利润 是多少? 求出存放时间,写出利润的表达式,对利润的表达式求最值. 典例分析 牛刀小试 解:设利润为w,由题意得 w=-3x²+940x+20000-10×2000-340x =-3(x-100)²+30000, 因为a=-3<0,所以抛物线开口方向向下, 所以x=100时,W最大=30000, 所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润,最大利 润是30000元. 二次函数模型 二次函数模型应用方法及注意点 (1)方法:根据实际问题建立二次函数模型后,求出函数的解 析式,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方 法求最值. (2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的 自变量与实际意义是否相符. 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用表示）、国民投资（简称为投资，用表示）、国民消费（简称为消费，用表示）之间的关系. 为了简单起见，可以做出以下假设： （1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位； （2）收入只用于投资和消费； 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 （3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用表示），另一部分与收入成正比，比例系数为. 值得注意的是，以上假设都是合理的．例如一个家庭的收入，一般而言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）． 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为 在经济学中，这通常称为凯恩斯静态模型，因为这是英国经济学家凯恩斯最先得出的. 一此经济现象，可以通过凯恩斯静态模型中量之间的关系来体现. 例如，如果不存在透支消费，那就意味着消费不大于收入，即，因此，从而有. 另外，如果将消费看成收入的函数，则这个函数在任意区间内的平均变化率 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 均为 这表示收入每增加一个单位，消费将增加个单位. 因此，通常称为边际消费倾向. （1）收入与消费的关系 为了探讨经济增长（即收入）与消费的关系，可以将收入看成消费的函数，即 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 ，其中与均为参数．可以算出，这个函数在任意区间内的平均变化率均为 ，这表示消费每增加一个单位，收入将增加 个单位． 例如，当时，有，因此： 如果消费，那么； 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 如果消费，那么 可以看到，消费增长5个单位时，收入增加了6.25个单位.这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位. 例如，当，时，有，因此： 如果投资，那么; 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 如果投资，那么. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位. 从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加（这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当时，可知且． 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 如果投资，那么. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位. 从上述计算结果可以看出，当消费增长或者投资增长时，都将导致收入增加（这样一来，我们也就完成了本章导语中投资与经济增长之间关系问题的解答）．而且，一般情况下，收入增加比消费增长或投资增长快．事实上，当时，可知且． 香菇问题建模应用 例2 2016年11月，《国务院办公厅关于进一步扩大旅游文化体育健康养老教育培训等领域消费的意见》（国办发[2016]85号）指出：“当前，我国国内消费持续稳定增长，为经济运行总体平稳、稳中有进发挥了基础性作用．顺应群众期盼，以改革创新增加消费领域特别是服务消费领域有效供给、补上短板，有利于改善民生、促进服务业发展和经济转型升级、培育经济发展新动能．”习惯上，人们总是用收入来衡量经济状况，因此所谓经济增长或者 经济发展，通常指的是收入增加. 那么，怎样描述投资与经济增长之间的关系呢？为什么说消费增长 有利于经济发展呢？这些现象能用数学语言来描述吗？ 典例分析 牛刀小试 这就是说，平均变化率和都大于1. 经济学上将这种现象称为乘数效应. 可以看出，凯恩斯静态模型能够较好地描述收入、投资与消费的关系. 这个模型中，为了简单起见，假设了基本消费以外的消费与收入成正比，但实际的情兄可能会更加复杂，模型的改进可以从这方面入手. 目标四 :针对训练 举一反三 1、某校校长暑假将带领该校市级二好学生去北京旅游,甲旅行社说:“如果校长头全 票一张,则其余学生可享受半价优惠,”乙旅行社说:“包括校长在内,全部按票价的6折 (即按全票价的60%收费)优惠,”若全票价为240元. (1)设学生数为x人,甲旅行社收费为y甲元,乙旅行社收费为yz元,分别写出两家旅行 社的收费y甲,yz与学生数x之间的解析式; (2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样? (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠? 解析: (1)y=120x + 240, (x∈N+), y=(x+1)×240×60%=144(x+1), (x∈N+). (2)由120x+240 = 144x + 144,解得x=4,即当学生数为4时,两家旅行社的收费 一样. (3)当x<4时,乙旅行社更优惠;当x>4时,甲旅行社更优惠。 举一反三 2、某企业实行裁员增效,已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元, 据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元, 但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工 3 的一,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元. 4 (1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围; (2)当140<a≤280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能 取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁). 解析: (1) 由题意可得 即 的取值范围是 中的自然数. (2): , 且 , 当 为偶数时, , 取最大值.当 为奇数时, , 取最大值 举一反三 2、某企业实行裁员增效,已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元, 据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元, 但每年需付给每位下岗工人0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工 3 的一,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元. 4 (1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围; (2)当140<a≤280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能 取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁). 因此, 当员工人数 为偶数时, 裁员人, 才能获得最大的经济效益; 当员工人数 为奇数时, 裁员人, 才能获得最大的经济效益. 举一反三 3. 如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰, 寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种 吉祥物的年固定成本为20万元,每生产x千件需另投入资金c(x)万元,其中c(x)与x之 间 的关系为:c(x),且函数c(x)的图象过A(6,18), B(12,48) C(82,952)三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内 生产的此吉祥物能全部销售完。(1)求的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 【详解】(1) 解:将 三点代入 中有: 举一反三 3. 如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰, 寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种 吉祥物的年固定成本为20万元,每生产x千件需另投入资金c(x)万元,其中c(x)与x之 间 的关系为:c(x),且函数c(x)的图象过A(6,18), B(12,48) C(82,952)三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内 生产的此吉祥物能全部销售完。(1)求的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 由题知 举一反三 3. 如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰, 寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种 吉祥物的年固定成本为20万元,每生产x千件需另投入资金c(x)万元,其中c(x)与x之 间 的关系为:c(x),且函数c(x)的图象过A(6,18), B(12,48) C(82,952)三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内 生产的此吉祥物能全部销售完。(1)求的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 当 时, ， 所以当 （千件）时, （万元）, 当 时, 举一反三 3. 如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物,其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰, 寓意自信与快乐,现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物,已知生产这种 吉祥物的年固定成本为20万元,每生产x千件需另投入资金c(x)万元,其中c(x)与x之 间 的关系为:c(x),且函数c(x)的图象过A(6,18), B(12,48) C(82,952)三点,通过市场分析,当每千件吉祥物定价为10万元时,该厂年内 生产的此吉祥物能全部销售完。(1)求的值,并写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂所获年利润最大?并求出最大年利润. 当且仅当 ,即 （千件）时取等, 所以 （万元）, 所以 （万元）， 综上: 当 （千件）时, （万元） 所以当年产量为 24 千件时,该厂的年利润最大,最大年利润 76 万元. 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们重点学习了函数在实际问题中的简单应用，核心内容可总结为以下三点： 1. 核心思想：函数建模思想 所有生活中的变量问题，都可以通过数学建模转化为函数问题。本节课主要运用一次函数、二次函数、分段函数三种基础函数模型，解决计费、最值、成本、收益等常见实际问题。 学海拾贝 2. 解题通用步骤（建模五步法） 第一步：审题，分析实际情境，找出问题中的自变量、因变量及隐藏限制条件； 第二步：设元，合理设定变量，结合实际情况确定自变量定义域； 第三步：建模，根据变量关系列出对应的函数解析式；第四步：求解，利用函数图像、性质、公式进行数学运算，求出最值、对应数值等结果； 第五步：作答，检验结果是否符合实际意义，回归问题写出完整答案。 学海拾贝 3. 易错重点与注意事项 解决实际应用问题，定义域是核心易错点，自变量的取值必须符合生活实际，不能单纯照搬函数解析式的取值范围；同时，二次函数最值问题要优先判断对称轴是否在定义域区间内，避免解题失误。 总的来说，本节课的本质就是用数学语言翻译生活问题，用函数知识解决生活问题，希望大家熟练掌握建模流程，树立函数应用意识，为后续更复杂的函数应用问题学习打下坚实基础。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $