2.2.4均值不等式及其应用（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.2.4均值不等式及其应用（1） 服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法! 称得(kg) 王大妈：我要买包糖 称得b(kg) 应该是() 是不是() 你觉得王大妈有没有吃亏？这节课我们一起学习一下吧. 1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系. 2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式.（重点） 3.能利用均值不等式证明简单不等式.（难点） 探究点1 算数平均值与几何平均值 思考：假设一个矩形的长和宽分别为和，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长. 给定两个正数,数称为的算术平均值，数称为的几何平均值. 思考1：如下表所示，任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一下一般情况下两个数的算数平均值和几何平均值的相对大小. 1 1 3 1 1 2 3 4 5 6 4 2 5 探究点2 均值不等式 均值不等式 如果都是正数，那么 当且仅当时，等号成立. 证明：因为都是正数，所以 即.等号成立时，当且仅当,即. 注意： 1.均值不等式的条件 (1)均值不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 2.均值不等式的实质是：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值. 均值不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称 它为基本不等式. 3.均值不等式的几何意义(1) 如果将均值不等式两边平方可得 矩形的长和宽分别为和，那么矩形的面积为 ， 可以看成与矩形周长相等的正方形面积，因此均值不等式的一个几何意义为 . 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大 几何意义（2） 令正实数为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和 的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下： （1）作线段AB=，使AC=，CB=； （2）以AB为直径作半圆O； （3）过C点作CD⊥AB于C，交半圆于点D； b a O C D B A （4）连接AD，BD，OD,则 当≠时，OD>CD，即 当=时，OD=CD，即 所以 当且仅当 时，不等式中的等号成立. ab a+b 2 b a O C D B A 均值不等式的另一个几何意义我们通常将其说成“半径不小于半弦”. 4.几个重要的不等式 (1)≥ _______(). (2) (). (3) (). 证明（1）：因为 对任意恒成立 所以 当且仅当时取等号. 证明（3）：因为 当且仅当时取等号. 例1 已知,求证：,并推导出等号成立的条件. 【解析】证明：因为,所以. 根据均值不等式，得 即. 当且仅当,即时，等号成立. 因为,所以等号成立的条件是. 跟踪训练 已知都是正数,求证：,并推导出等号成立的条件. 【解析】证明：因为, 根据均值不等式，得. 因为,根据均值不等式，得 所以. 当且仅当且,即时，等号成立. 1.下列结论中不正确的是（ ） A.时， B. C. D. B 2.若＞＞0,则下列不等式中总成立的是( ) A. B. C. D. C 均值不等式　 均值不等式 两种命题 重要不等式 几何意义 , 当且仅当时，等号成立. (1)≥ _______(). (2) (). (3) (). $$