第25章 锐角的三角比（知识清单+典型例题+素养提升）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪教版）

第25章 锐角的三角比（知识清单+典型例题+素养提升） 【知识导图】 【知识清单】 1 锐角的三角比 1．如图，在△中，，直角边和分别叫做的对边和邻边． 2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦． ． （2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦． ． （3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切． ． （4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切． ． 【记忆技巧】 正（正对）弦（斜边）：对边比斜边； 余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边． 1．（2023·上海·一模）在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】由锐角的余切定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵点， ∴． 故选∶ A 【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义． 2．（2023·上海松江·统考一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求得斜边长，进而根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图 ∵中，，，， ∴, ∴，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解题的关键． 2 特殊角的三角比 1．特殊角的锐角三角比： 30° 45° 60° 1 1 【记忆技巧】 1．图形推导法 2．表格记忆法 30° 45° 60° 1 1 3．（2023·上海崇明·统考一模）计算： 【答案】 【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案． 【详解】，，，， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键． 4．（2023·上海·一模）计算：． 【答案】 【分析】把、、角的各种三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了特殊三角函数值的计算，特殊三角函数值计算在中考中经常出现，准确记住、、角的各种三角函数值是解题的关键． 5．（2023·上海宝山·一模）计算：． 【答案】 【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了三角函数值的混合运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 3 解直角三角形 1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形． 2．在△中，90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系： （1）锐角之间的关系：90°； （2）三边之间的关系：； （3）边角之间的关系：；；；． 3．解直角三角形的类型与解法： 类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一） 已知条件 解法步骤 一 边 和 一 角 斜边和一锐角 斜边和一个锐角 1．； 2．； 3．． 一直角边和一锐角 一条直角边 和一个锐角 1．； 2．； 3．． 一条直角边 和一个锐角 1．； 2．； 3．． 类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边） 已知条件 解法步骤 两 边 斜边和直角边 1．； 2．利用，求； 3．． 两条直角边和 1． 2．利用，求； 3．． 6．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA＝． 求：（1）S△ABC； （2）∠B的余弦值． 【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答； （2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D， 在Rt△ABC中，tanA＝＝， ∴设CD＝4k，则AD＝3k， ∴AC＝＝＝5k， ∵AC＝15， ∴5k＝15， ∴k＝3， ∴AD＝9，CD＝12， ∴S△ABC＝AB•CD ＝×15×12 ＝90， ∴S△ABC＝90； （2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12， ∴BC＝＝＝6， ∴cosB＝＝＝， ∴∠B的余弦值为． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023·上海·一模）如图，在四边形中，平