立体几何与解析几何专题一空间几何体的三视图、直观图及表面积与体积-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

1.正四面体中常用结论 条件 结论 正 四 面 体 的 棱 长为 a 高 h = 　 6 3 a,表面积 S = 　 3a2 ,体积 V = 　 2 12 a3 记相邻两个面的二面角为 α,则 cos α = 1 3 ;记三条侧棱与底面的夹角为 β,则 cos β = 　 3 3 外接球的半径 R = 　 6 4 a,内切球的半径 r = 　 6 12 a,R ∶ r = 3 ∶ 1,R + r = h 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(四心合一) 对棱互相垂直,且对棱中点的连线为对棱的公垂线,长度为 　 2 2 a,三对对棱的公垂线交于一点 2.三棱锥的外接球和内切球中常用结论 类别 条件 结论 外接球 三棱两两互相垂直,且三棱长度分别为 a,b,c D2 = a2 + b2 + c2(D 为外接球的直径) 对棱相等 将其补成对应的长方体,该长方体的外接球就是所求三棱锥的外接球 顶点在底面的射影恰与底面的三个顶点构成长方形 将其补成对应的长方体,该长方体的外接球就是所求三棱锥的外接球 长度为 a 的棱的两个对角为 90° 其外接球的直径 D = a 内切球 三棱锥的体积为 V,表面积为 S 内切球的半径 r = 3V S 3.圆锥曲线的切线及弦中点问题 切线 弦中点问题 椭圆 椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 在点 P(x0 , y0 ) 处的切线方程为 x0x a2 + y0y b2 = 1 若直线 l:y = kx + p 与椭圆 C: x 2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 交于 A(x1 ,y1 ), B(x2 ,y2 ) 两点,且 G(x0 ,y0 ) 是线段 AB 的中点,则 k = - b2x0 a2y0 双曲线 双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 在点 P(x0 ,y0 ) 处的切线方程为 x0x a2 - y0y b2 = 1 若直线 l:y = kx + p 与双曲线 C: x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 交于 A(x1 , y1 ),B(x2 ,y2 ) 两点,且 G(x0 ,y0 ) 是线段 AB 的中点,则 k = b2x0 a2y0 抛物线 抛物线C:y2 = 2px(p > 0) 在点P(x0 ,y0 ) 处 的切线方程为 y0y = p(x + x0 ) 若直线 l:y = kx + t与抛物线 C:y2 = 2px(p > 0) 交于 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ) 两点,且 G(x0 ,y0 ) 是线段 AB 的中点,则 k = p y0 1 4.圆锥曲线的焦点三角形问题 方程 图形 结论 椭圆 x2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) △PF1F2 的周长 L = | PF1 | +| PF2 | +| F1F2 | = 2(a + c) 设 ∠F1PF2 = θ,则 | PF1 | | PF2 | = 2b2 1 + cos θ 设 ∠F1PF2 = θ,则 △PF1F2 的面积 S = b2 tan θ 2 双曲线 x2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 设 ∠F1PF2 = θ,则 | PF1 | | PF2 | = 2b2 1 - cos θ 设 ∠F1PF2 = θ,则 △PF1F2 的面积 S = b2 tan θ 2 抛物线 y2 = 2px(p > 0) 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),则 | AF | = | AC | = x1 + p 2 , | BF | = | BD | = x2 + p 2 | AF | = p 1 - cos θ , | BF | = p 1 + cos θ | AB | = | AF | +| BF | = 2p sin2θ , 1 | AF | + 1 | BF | = 2 p 点 O 到直线 AB 的距离为 | OE | = psin θ 2 ,△OAB 的面积 S = p 2 2sin θ 5.椭圆与双曲线的焦点三角形的内心 方程 图形 结论 椭圆 x2 a2 + y 2 b2 = 1(a > b > 0) 若 r为焦点三角形 PF1F2 的内切圆半径,则 S△PF1F2 = (a + c) r 若 ∠F1PF2 的平分线交 F1F2 于点 G,则 | PF1 | | GF1 | = | PF2 | | GF2 | = | PF1 | +| PF2 | | GF1 | +| GF2 | = a c | PI | | IG | = | PF1 | | GF1 | = a c 双曲线 x2 a