函数与导数专题一函数的概念与性质-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

1.求复合函数单调区间的步骤 第一步 判断复合函数的定义域 第二步 求解各层函数的单调区间 第三步 根据“同增异减” 的原则求解复合函数的单调区间 2.函数的奇偶性 f(x) g(x) f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定函数的奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 备注:函数 f(x),g(x) 的定义域相同 3.函数图象的对称性 (1) 函数图象关于点成中心对称图形 函数 y = f(x) 的图象关于点 P(a,b) 成中心对称图形的充要条件是函数 g(x) = f(x + a) - b 为 奇函数. 推广如下: f(x) 在定义域内恒满足的条件 y = f(x) 图象的对称中心 f(a - x) + f(a + x) = 2b 点(a,b) f(x) + f(a - x) = b 点( a 2 , b 2 ) f(a + x) + f(b - x) = c 点(a + b 2 , c 2 ) 　 　 (2) 函数图象关于直线成轴对称图形 函数 y = f(x) 的图象关于直线 x = a成轴对称图形的充要条件是函数 g(x) = f(x + a) 为偶函数. 推广如下: f(x) 在定义域内恒满足的条件 y = f(x) 图象的对称轴 f(a - x) = f(a + x) 直线 x = a f(x) = f(a - x) 直线 x = a 2 f(a + x) = f(b - x) 直线 x = a + b 2 1 4.函数的周期性 (1) 函数的对称性、奇偶性与周期性的关系 条件 结论 f(x) 的图象关于直线 x = a 对称,且 f(x) 为奇函数 f(x) 是周期为 4a 的周期函数 f(x) 的图象关于直线 x = a 对称,且 f(x) 为偶函数 f(x) 是周期为 2a 的周期函数 f(x) 的图象关于点(a,0) 对称,且 f(x) 为奇函数 f(x) 是周期为 2a 的周期函数 f(x) 的图象关于点(a,0) 对称,且 f(x) 为偶函数 f(x) 是周期为 4a 的周期函数 　 　 (2)“半周期” 推导周期 已知 a ∈ R,a ≠ 0,b ∈ R. 条件 结论 f(x) + f(x + a) = b f(x) 是周期为 2a 的周期函数 f(x) f(x + a) = b f(x) 是周期为 2a 的周期函数 f(x + a) = 1 + f(x) 1 - f(x) f(x) 是周期为 4a 的周期函数 　 　 (3) 双对称推导周期 类型 条件 结论 两条对称轴 f(x) 的图象关于直线 x = a 和直线 x = b 对称 f(x) 是周期为 2 | b - a | 的周期 函数 两个对称中心 f(x) 的图象关于点(a,0) 和点(b,0) 对称 f(x) 是周期为 2 | b - a | 的周期 函数 一条对称轴与一个对称中心 f(x) 的图象关于点(a,0) 对称且关于直线 x = b 对称 f(x) 是周期为 4 | b - a | 的周期 函数 5.利用导数求切线方程 类别 条件 步骤 已知切点求 切线方程 切点为(x0 ,f(x0 )) 求出函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0 ),得到曲线 f(x) 在点(x0 ,f(x0 )) 处的切线的斜率 k = f′(x0 ) 利用点斜式 y - f(x0 ) = k(x - x0 ) 求切线方程 未知切点求 切线方程 切线过点 (x1 ,f(x1 )) 设切点(x0 ,f(x0 )) 求出函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0 ),得到曲线 f(x) 在点(x0 ,f(x0 )) 处的切线的斜率 k = f′(x0 ) 利用 f′(x0 ) = f(x1 ) - f(x0 ) x1 - x0 解出 x0 的值,代入 k = f′(x0 ),求出 k 的值 利用点斜式 y - f(x0 ) = k(x - x0 ) 求切线方程 2 6.导函数在研究函数中的应用 导函数的应用 关系 步骤 求函数的单调性 在某个区间(a,b) 内,如果 f′(x) > 0, 那么函数 y = f(x) 在这个区间内单调 递增; 如果 f′(x) < 0, 那么函数 y = f(x) 在这个区间内单调递减 确定函数 f(x) 的定义域 求导函数 f′(x) 在定义域内解不等式 f′(x) > 0 或 f′(x) < 0,求出相应的 x的取值范 围;当 f′(x) > 0 时,f(x) 在相应区间上单调递增;当 f′(x) < 0 时, f(x