基础选填题专题一集合与常用逻辑用语-【小尚同学】2024版高考数学真题分类全刷

1.与基本不等式有关的最值问题 xy 是定值 p(x > 0,y > 0) 当且仅当 x = y 时,x + y 有最小值 2 　 p (简记:积定和最小) x + y 是定值 s(x > 0,y > 0) 当且仅当 x = y 时,xy 有最大值 s 2 4 (简记:和定积最大) 2.平面向量中的重要结论 结论 1 若 A,B,C 为 3 个不同的点,则OA→,OB→,OC→的终点 A,B,C 共线 ⇔ 存在实数 λ,使得OA→ = λOB→ + (1 - λ)OC→ 结论 2 在 △ABC 中,A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),C(x3 ,y3 ),则 △ABC 的重心 G 的坐标为( x1 + x2 + x3 3 , y1 + y2 + y3 3 ) 结论 3 若点 O 为 △ABC 内一点,则 S△BOCOA → + S△COAOB→ +S△AOBOC→ = 0 3.解三角形中的常用结论 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,则有如下结论: 结论 1 a > b⇔A > B⇔sin A > sin B 结论 2 S = 1 2 bcsin A = 1 2 acsin B = 1 2 absin C;S = 1 2 r(a + b + c)( r 为 △ABC 内切圆的半径) 结论 3 sin A + B 2 = cos C 2 ;cos A + B 2 = sin C 2 ;sin(A + B) = sin C;cos(A + B) = - cos C 结论 4 在 △ABC中,D为BC上一点,且∠BAD = α,∠CAD = β,有如下结论:① sin(α + β) AD = sin α AC + sin β AB ;②BD CD = sin α sin β ·AB AC ; ③ 若 D 为 BC 的中点,则AB AC = sin β sin α ,AB2 + AC2 = 2(AD2 + BD2 ) = 2(AD2 + CD2 ) 4.由递推公式求通项公式的常见类型及方法 常见类型 方法 an+1 - an = f(n) 累加法 an+1 an = f(n) 累乘法 an+1 = pan + q(p ≠ 1) 构造等比数列 an+1 = parn(p > 0,an > 0) 两边取对数转化为 an+1 = pan + q 型 an+1 = Aan Ban + C 两边取倒数构造新数列 1 5.判定数列{an} 为等差数列或等比数列的常用方法 判定数列{an} 为等差数列的常用方法 判定数列{an} 为等比数列的常用方法 (1) 定义法:an+1 - an = d(d 是常数); (2) 等差中项法:an-1 + an+1 = 2an(n ≥ 2); (3) 通项公式法:an = An + B(A,B 为常数); (4) 前 n 项和公式法:Sn = An2 + Bn(A,B 为常数) (1) 定义法: an+1 an = q(q ≠ 0); (2) 等比中项法:a2n+1 = an·an+2(an ≠ 0); (3) 通项公式法: an = a1qn -1(a1 ≠ 0,q ≠ 0); (4) 前 n 项和公式法:Sn = Aqn - A(A ≠ 0,q ≠ 0,q ≠ 1) 6.等差数列及等比数列的常用性质 等差数列的常用性质 等比数列的常用性质 已知数列{an},{bn} 是等差数列,Sn,Tn 分别是数列{an},{bn} 的前 n项和. (1) 若 m + n = p + q,则 am + an = ap + aq(m,n,p,q ∈ N∗ ) . (2){pan + qbn} 也是等差数列. (3)ak,ak+m,ak+2m,… 组成公差为 md 的等差数列(k,m ∈ N∗ ) . (4) 若 Sm = n,Sn = m,其中 m,n为不相等的正整数,则 Sm+n = - (m + n); 若 Sm = Sn,则Sm+n = 0. (5) Sn n{ } 成等差数列,其首项与{an} 首项相同,公差是{an} 公差的 1 2 . (6)Sm,S2m - Sm,S3m - S2m 成等差数列. (7) 设 S偶 为等差数列{an} 偶数项的和,S奇 为等差数列{an} 奇数项的和. ① 若{an} 的项数为 2n,则 S偶 - S奇 = nd, S奇 S偶 = an an+1 ; ② 若{an} 的项数为2n - 1,则 S偶 = (n - 1)an,S奇 = nan,S奇 -S偶 = an, S奇 S偶 = n n - 1 . (8) an bn = S2n-1 T2n-1 已知