专题12 圆与几何综合的两种考法-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题12 圆与几何综合的两种考法 类型一、切线问题 例1．（连圆心，证半径）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 例2（连半径，证垂直）．如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交劣弧于点P． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式训练1】．如图，内接于是的直径，的切线交的延长线于点交于点，交于点，连接．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求阴影部分的面积． 【变式训练2】．如图，为的直径，是圆的切线，切点为，平行于弦．    (1)求证：是的切线； (2)直线与交于点，且，，求的半径． 【变式训练3】．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； 【变式训练4】．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 类型二、求长度 例．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式训练1】．如图，在中，，点D在边上，点E在边上．以点D为圆心，为半径作与相切于点F，已知．    (1)求证：； (2)连接，若，求线段的长． 【变式训练2】．如图，在中，，O是边上的点，以为半径的圆分别交边、于点D、E，过点D作于点F．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求劣弧的长． 【变式训练3】．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【变式训练4】．如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点E．    (1)求的度数； (2)如图2，过点A作的切线交延长线于点，过点作交于点．若，，求的长． 课后训练 1．如图，以为直径的经过的顶点C，，分别平分和，的延长线交于点D，连接，.    (1)求证：： (2)若，，求的长． 2．如图，在中，为直径，为弦，为延长线上的一点，连接． (1)若的长为，求的度数． (2)若，，求证：是的切线． 3．如图，在中，A、B，C三点在上，点O在边上，点E在外，，垂足为F．    (1)若，求证：是的切线； (2)若，求的长． 4．如图1，已知为的直径，C为上一点，于E，D为弧的中点，连接，分别交于点F和点G． (1)求证：； (2)如图2，若，连接，求证：． 5．如图，中两条互相垂直的弦交于点P，经过点O，E是的中点，连接，延长交于点F． (1)若，，求的长； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 圆与几何综合的两种考法 类型一、切线问题 例1．（连圆心，证半径）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．    (1)求证：与相切； (2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切； （2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的直径，， 平分交于点E， ，，， ，， 是的半径，与相切； （2）解：如图，连接，，    ，，， ，是等边三角形，， ， ，，， ，， ，是的直径，， ．即的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键． 例2（连半径，证垂直）．如图，中，，过B、C两点，且是的切线，连接交劣弧于点P． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2)6 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定理得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）设的半径为r，则，．在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵是的切线， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）设的半径为r，则，． 在中， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为6． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 【变式训练1】．如图，内接于是的直径，的切线交的延长线于点交于点，交于点，连接．    (1)判断直线与的位置关系，