专题4.6 数学归纳法【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.6 数学归纳法【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 2 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 2 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 3 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 4 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 6 【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】 6 【知识点1 数学归纳法】 1．归纳法 由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想 的一种方法. 归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法. 2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立； 第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立. 上述证明方法称为数学归纳法. 3．数学归纳法的重要结论及适用范围 数学归纳法的重要结论 适用范围 只适用于证明与正整数有关的数学命题 【题型1 数学归纳法的证明步骤】 【例1】（2023春·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的， ”，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023春·河南驻马店·高二统考期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023春·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A．假设正确，再推正确 B．假设正确，再推正确 C．假设正确，再推正确 D．假设正确，再推正确 【变式1-3】（2023春·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的， ”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 【题型2 用数学归纳法证明恒等式】 【例2】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明（为正整数）． 【变式2-1】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明： (1)； (2)． 【变式2-2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【变式2-3】（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）观察下面三个等式： 第1个：， 第2个：， 第3个： (1)按照以上各式的规律，写出第4个等式； (2)按照以上各式的规律，猜想第个等式（为正整数）； (3)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【题型3 用数学归纳法证明不等式】 【例3】（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式成立. 【变式3-1】（2023·全国·高三专题练习）用数学归纳法证明． 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）设，且，证明∶. 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知m，n为正整数． (1)用数学归纳法证明：当时，； (2)对于，已知，求证，； (3)求满足等式的所有正整数n． 【题型4 用数学归纳法证明几何问题】 【例4】（2023·全国·高二随堂练习）平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数. 【变式4-1】（2023·高二课时练习）平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2部分. 【变式4-2】（2023·高二课时练习）已知个半径相等的半圆的圆心在同一直线上，这个半圆每两个都相交，且都在直线的同侧，试用数学归纳法求这个半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧． 【变式4-3】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第个图案所包含的小正方形个数记为． （1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与的关系，并通过你所得到的关系式，求出的表达式； （2）计算：，，的值， 猜想 的结果，并用数学归纳法证明． 【题型5 用数学归纳法证明整除问题】 【例5】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（） 【变式5-1】（2023·全国·高二随堂练习）设，用数学归纳法证明：是64的倍数． 【变式5-2】（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在说明理由． 【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，证明：数列的第项（）能被3整除． 【题型6 用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】 【例6】（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为