4.4 数学归纳法（7大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4．4 数学归纳法 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：对数学归纳法原理的理解 2 题型二：增项问题 2 题型三：利用数学归纳法证明不等式 3 题型四：利用数学归纳法证明等式 3 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 4 题型六：证明整除性问题 5 题型七：证明几何问题 5 02 重难点拓展 6 题型一：对数学归纳法原理的理解 1．已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 2．（2025·高二·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 3．（2025·高二·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 题型二：增项问题 4．（2025·高二·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 5．（2025·高二·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 6．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 题型三：利用数学归纳法证明不等式 7．用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 8．如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明：. 9．已知数列和满足，． (1)若，求证：； (2)若且，求证：． 题型四：利用数学归纳法证明等式 10．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 11．用数学归纳法证明：． 12．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 13．（2025·高二·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 14．（2025·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 15．（2025·高二·浙江·期末）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 题型六：证明整除性问题 16．用数学归纳法证明：能被64整除． 17．用数学归纳法证明：能被整除． 18．（2025·高二·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 题型七：证明几何问题 19．（2025·高二·安徽池州·期中）k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 20．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 21．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 1．（2025·高二·全国·专题练习）数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·高二·福建厦门·月考）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）（2025·高二·吉林延边·月考）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．为数列前项和，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 5．（多选题）（2025·高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 6．（2025·高二·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 7．（2025·高二·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 8．（2025·高二·全国·课后作业）已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 9．（2025·高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 10．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 11．（2025·高二·全国·课后作业）求证：． 12．（2025·高二·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 13．（2025·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 14．（2025·高二·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 15．（2025·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 16．（2025·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 17．（2025·高二·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．4 数学归纳法 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：对数学归纳法原理的理解 2 题型二：增项问题 3 题型三：利用数学归纳法证明不等式 4 题型四：利用数学归纳法证明等式 6 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 7 题型六：证明整除性问题 9 题型七：证明几何问题 10 02 重难点拓展 12 题型一：对数学归纳法原理的理解 1．已知命题及其证明： （1）当时，左边，右边，所以等式成立． （2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（    ） A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B 【解析】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确. 故选：B． 2．（2025·高二·河南·期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立. 故选：B 3．（2025·高二·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【解析】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 题型二：增项问题 4．（2025·高二·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项. 故选：D. 5．（2025·高二·辽宁大连·期中）用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，可得： 时，可得：， 故增加了项. 故选：A 6．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 . 故选：D. 题型三：利用数学归纳法证明不等式 7．用数学归纳法证明1+++…+≤+n(n∈N*). 【解析】(1)当n＝1时，左边右边， 即当n＝1时，原不等式成立， (2)假设当n=k(k∈N*)时，原不等式成立， 即1+++…+≤+ k， 则当n=k+1时， 1+++…++++…+<+k+=+(k+1)， 即当n=k+1时，不等式成立， 综合(1)和(2)得，原不等式对所有的n∈N*都成立. 8．如果是实数，且，，为大于1的自然数，用数学归纳法证明：. 【解析】当时，，不等式成立， 假设当时不等式成立，即， 当时，因实数满足，且， 则， 即当时，不等式也成立. 综上得，为大于1的自然数时，不等式成立. 9．已知数列和满足，． (1)若，求证：； (2)若且，求证：． 【解析】（1）且，，等式两边同时乘， 得. 下面用数学归纳法证明： 当时，，而，成立； 假设当时，成立； 则当时，， 在单调递增， 又，， ，即当时不等式也成立， 综上所述，对任意的，. （2），又， ，令，，则， ，得， 两式相比，可得，即，即， 从而，这表明数列是常数列，，， 于是有， 因此，又，即，命题得证． 题型四：利用数学归纳法证明等式 10．用数学归纳法证明：对任意的正整数． 【解析】当时，左边右边； 假设时，原等式成立，则时， 等式左边，因此时原等式也成立． 综上，都有． 11．用数学归纳法证明：． 【解析】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时， ， 故当时，等式也成立， 所以成立. 12．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【解析】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 题型五：利用数学归纳法求数列通项问题 13．（2025·高二·上海·月考）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【解析】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 14．（2025·高二·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【解析】（1），， ； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 15．（2025·高二·浙江·期末）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【解析】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 题型六：证明整除性问题 16．用数学归纳法证明：能被64整除． 【解析】（i）当时，，能被64整除，故时命题成立； （ii）假设当时命题成立，即能被64整除， 则当时，能被64整除， 故当时命题成立． 由（i）（ii）可知对，都能被64整除． 17．用数学归纳法证明：能被整除． 【解析】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 18．（2025·高二·全国·单元测试）（24-25高二上·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【解析】①当时，能被133整除，所以当时结论成立； ②假设当时，能被133整除， 那么当时， ， 由假设可知能被133整除，即能被133整除， 所以当时结论也成立； 综上，能被133整除． 题型七：证明几何问题 19．（2025·高二·安徽池州·期中）k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为(k≥3，k∈N*)（    ） A．f(k)+k-1 B．f(k)+k+1 C．f(k)+k D．f(k)+k-2 【答案】A 【解析】过棱柱不相邻两条侧棱的截面为棱柱的对角面，k棱柱有f(k)个对角面，(k＋1)棱柱可视为在原k棱柱基础上新增一条棱得到的， k棱柱的原对角面仍是对角面，与新增棱不相邻的原k棱柱的棱有k-2条，其中的每一条棱与新增棱构成一个对角面，这样就新增k-2个对角面， 而与新增棱相邻的两条原k棱柱的棱构成的原侧面，现在也为对角面，则总共增加(k-2)+1=k-1个对角面，于是得f(k＋1)= f(k)+k-1， 所以(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为f(k)+k-1. 故选：A 20．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】第个圆与前个圆相交有个交点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此． 故选：B． 21．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ . 【答案】k＋1 【解析】f(k)＝1＋， f(k＋1)＝1＋， ∴f(k＋1)－f(k) ＝ ＝k＋1， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)． 故答案为：k＋1. 1．（2025·高二·全国·专题练习）数列满足，则的前60项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，有，则的前60项和 . 故选：C. 2．（多选题）（2025·高二·福建厦门·月考）大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙. 譬如松果、凤梨的排列、向日葵花盘数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关. 在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法来定义：，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：由得，， 则，，，，， ， 又，，所以.故A正确. 选项B：由得，， 则，，，，， 所以 .故B错误. 选项C：用数学归纳法证明成立. 当时，，成立； 假设当时，成立， 当时，成立，满足规律， 故成立. 令，则，故C正确. 选项D：由得，， 则， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选题）（2025·高二·吉林延边·月考）如图，点均在轴的正半轴上，，，…，分别是以为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．为数列前项和，为数列的前n项和，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对A，第一个等边三角形顶点坐标代入得，故A正确； 将点坐标代入， 将点坐标代入得， 对BC，法一：由此可猜测：．接下来用数学归纳法证明， 当，显然成立， 假设，成立，则时，， ，即，故B错误； 故在，所以， 由于，解得成立，故也成立， 综上可得，故C错误； 法二：数列前项和为，则顶点坐标为，，故B错误； 因为点在函数上， 所以，， 则，， 两式相减得，， 因为，所以，， 第一个等边三角形顶点代入得， 代入得，所以， 故是以为首项为公差的等差数列， 所以，故C错误； 对D，， 所以 ， 故AD正确，BC错误， 故选：AD 4．（多选题）（2025·高二·上海·随堂练习）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【解析】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立． 故选：ABC． 5．（多选题）（2025·高二·上海·随堂练习）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【解析】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即， 所以D正确． 故选：AD 6．（2025·高二·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【答案】（1）（2） 【解析】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 7．（2025·高二·上海嘉定·期中）利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 【答案】 【解析】由题意，时，左边为； 时，左边为； 从而增加两项为，且减少一项为， 故左边应增乘的因式为. 故答案为： 8．（2025·高二·全国·课后作业）已知数列的各项均为正数，且前项和，试猜想的通项公式并证明． 【解析】当时，，解得； ，解得，同理得，，， 猜想，以下用数学归纳法加以证明． （i）当时，，等式成立； （ii）假设当时，成立， 当时，， 即， 去分母并整理得，解得． 故（负值舍去），则时等式成立． 由（i）（ii）知对任意，成立． 9．（2025·高三·全国·专题练习）当且时，求证：． 【解析】①当时，左边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立， 即， 则当时， 左边 ． 由①②知对任意且不等式成立． 10．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. （2）因为， 得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 11．（2025·高二·全国·课后作业）求证：． 【解析】当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立， 即； 当时， ， 所以时，等式也成立． 综上所述，等式对任何都成立． 12．（2025·高二·全国·课后作业）观察下列各式： 总结出一般规律，并用数学归纳法证明你所得到的结论. 【解析】观察各式，可得一般规律， 用数学归纳法证明如下： 当时，左边，右边，等式成立； 假设时，等式成立，即， 那么当时， 故时，等式也成立. 综上，等式对于一切正整数n都成立. 13．（2025·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除. 【解析】①当时，能被整除，所以当时结论成立. ②假设当时，能被整除， 那么当时， ， 由假设可知能被整除，即能被整除， 所以当时结论也成立. 综上，能被整除. 14．（2025·高二·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 【解析】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 15．（2025·高二·全国·课后作业）已知正项数列的前项和为，满足． (1)求出数列的前三项； (2)根据数列的前三项猜想出其一个通项公式，并用数学归纳法证明． 【解析】（1）当时，由已知条件可得，即， 解得； 当时，由已知条件可得，将代入得， 解得； 当时，由已知条件可得，同理解得． （2）由（1）可以猜想，时，等式成立； 假设当时，等式也成立，即， 又因为， 将代入上式解得， 所以时命题成立． 综合可得，当时，． 16．（2025·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：，． 【解析】当时，左边， 右边，命题成立； 假设时，命题成立，即， 则当时， ， 所以时命题成立， 综上，． 17．（2025·高二·全国·课堂例题）平面内有条直线，其中任何两条都不平行，任何三条都不经过同一点，用数学归纳法证明：交点的个数． 【解析】(1)当 时, 两条直线的交点只有一个, 又 , 所以当 时, 命题成立. (2)假设当 时, 命题成立， 即平面内满足题设的任何 条直线的交点个数 , 当 时, 任取一条直线 , 除 以外其他 条直线的交点个数为 , 与其他 条直线交点个数为 , 从而 条直线共有 个交点, 即 , 所以当 时, 命题成立. 由(1)(2)可知, 对任意 命题都成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $