3.3 垂径定理（选学）（同步课件）数学浙教版九年级上册

3.3 垂径定理（选学） 数学（浙教版） 九年级 上册 第3章 圆的基本性质 学习目标 1．深入理解圆的轴对称性； 2．掌握垂径定理及其应用，学会运用垂径定理求相关的长度； 3、掌握垂径定理的推论，并用垂径定理及其推论解决一些简单的计算、证明和作图问题； 　 导入新课 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 　 导入新课 欣赏图片 思考：观察这些图片，你发现了什么？说一说你的发现。 　 导入新课 问题:赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名。当地人称之为大石桥，以区别于城西门外的永通桥（小石桥）。赵州桥始建于隋代，由匠师李春设计建造，后由宋哲宗赵煦赐名安济桥，并以之为正名它；主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 讲授新课 知识点一 垂径定理及其推论 问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 讲授新课 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ∴ AP=BP, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.(结论) 归纳总结 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 讲授新课 思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 讲授新课 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 讲授新课 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 可以，简记为“知二求三” 讲授新课 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知:_________; 求证:_________. ① CD是直径 ② CD⊥AB，垂足为E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ① ③ ② ④ ⑤ 讲授新课 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） · O A B C D E （2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ 讲授新课 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 讲授新课 垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 讲授新课 知识点二 垂径定理及其推论相关的计算 典例精析 例1、如图，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6，则O的半径长为_________. 解：如图，连接OD，设O的半径为r， 在Rt△ODP中，OD2=OP2+DP2， ∵P为半径OB的中点，∴OP=r， ∵O的直径AB垂直弦CD于点P ， ∴DP=CD=3（垂径定理）， ∴r2=(r)2+32，解得：r=2. 讲授新课 例2、如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB 于E，若CD＝4，BE=2，则AB的长是_________. 解：如图，连接OC，设O的半径为r， 在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2， ∵BE=2，∴OE=r-2， ∵AB是O的直径，CD⊥AB ， ∴CE=CD=2（垂径定理）， ∴r2=(r-2)2+(2)2，解得：r=6，∴AB=2r=12. 讲授新课 练一练 1、 如图， ⊙