第2章 专题提能 函数与导数综合问题的突破策略-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套课件（人教A版 老教材 老高考）

函数与导数综合问题的突破策略 1 一轮 · 数学 B 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 典例3　已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 　利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程． (1)对数形式：x≥1＋ln x(x＞0)，当且仅当x＝1时，等号成立． (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x(x＞0，且x≠1)． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 因此f′(x)＜0， 故函数f(x)在(0，π)上是减函数， ∴当0＜x1＜x2＜π时，有f(x1)＞f(x2)，即a＞b. 1 一轮 · 数学 　通过二次求导，我们判断出了第一次求导中的导函数的符号，并最终解决了问题． 1 一轮 · 数学 2．“二次求导”与证明问题 典例5　已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (1)[解]　依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex， 又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x. 1 一轮 · 数学 (2)证明：f(x)＜sin x在(0，＋∞)上恒成立． (2)[证明]　依题意，要证f(x)＜sin x， 即证xln x－ex＋1＜sin x， 即证xln x＜ex＋sin x－1. 当0＜x≤1时，ex＋sin x－1＞0，xln x≤0， 故xln x＜ex＋sin x－1， 即f(x)＜sin x. 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 故h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故h(x)＞h(1)＝e＋cos 1－1＞0，即g′(x)＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)＞g(1)＝e＋sin 1－1＞0， 即xln x＜ex＋sin x－1， 即f(x)＜sin x. 综上所述，f(x)＜sin x在(0，＋∞)上恒成立． 1 一轮 · 数学 　本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的办法判定导数的符号，获得函数的单调性，再利用单调性证明不等式． 1 一轮 · 数学 (三)消元消参巧构造、妙解极值点偏移问题 1．极值点偏移的含义、判定 极值点偏移的含义 若单峰函数f(x)的极值点为x0，则极值点的偏移问题的函数值的大小关系及图示如下表所示． 1 一轮 · 数学 函数值的大小关系： 1 一轮 · 数学 图示： 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 2.函数极值点偏移问题的题型及解法 (1)极值点偏移问题的题设一般有以下四种形式： ①若函数f(x)在定义域上存在两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； ②若在函数f(x)的定义域上存在x1，x2(x1≠x2)满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 当0＜a＜1时，g′(a)＜0，当a＞1时，g′(a)＞0， 所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g(a)≥g(1)＝0，故a＝1. 1 一轮 · 数学 (2)若f(x1)＋f(x2)＝－1(x1≠x2)，证明：x1＋x2＞2. 1 一轮 · 数学 欲证x1＋x2＞2，只需证x2＞2－x1， 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故只需证f(x2)＜f(2－x1)． 又f(x1)＋f(x2)＝－1， 故只需证－1－f(x1)＜f(2－x1)，即f(2－x1)＋f(x1)＞－1. 令F(x)＝f(x)＋f(2－x)，x∈(0,1)，且F(1)＝－1. 所以欲证f(2－x1)＋f(x1)＞－1， 只需证F(x)＞F(1)， 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 　 该题直接利用极值点偏移的一般解法，根据所证不等式的结构特征，先把两个变量分到不等号的两边，再利用已知函数的单调性，将其转化为函数值的大小比较问题，进而直接构造相应函数F(x)＝f(x)＋f(2－x)，x∈(0,1)．这也是解决此类问题最为直接的方法，渗透了对数学建模等核心素养的考查． 1 一轮 · 数学 $$