第2章 第10节 第4课时 利用导数研究不等式成立问题-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套课件（人教A版 老教材 老高考）

第四课时　利用导数研究不等式成立问题 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)如果对任意的x≥1，都有f(x)≤ax，求实数a的取值范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，所以h′(x)≤0，故h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 所以h(x)max＝h(1)＝1，故a≥1.即a的取值范围是[1，＋∞)． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　参数法来确定f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤 (1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1．已知函数f(x)＝ln x. (1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值； 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)若对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 角度(二)　等价转化法求解恒成立问题 典例2　函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R)． (1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值； 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 2．已知函数f(x)＝m(x－1)ex＋x2(m∈R)． (1)若m＝－1，求函数f(x)的单调区间； 解：(1)m＝－1时，f(x)＝(1－x)ex＋x2，则f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)>0，得0<x<ln 2，由f′(x)<0，得x<0或x>ln 2，故函数的单调递增区间为(0，ln 2)，单调递减区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)若对任意的x<0，不等式x2＋(m＋2)x>f′(x)恒成立，求m的取值范围． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 题型二　存在成立问题 典例　(2023·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex. (1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围； [解]　(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)设函数g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围． [解]　(2)因为存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)ex0－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)ex0成立．令h(x)＝(2x－3)ex，从而p≥h(x)min，h′(x)＝(2x－1)ex.因为x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以实数p的取值范围是[－e，＋∞)． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　1.存在型不等式成立主要是转化为最值问题． 如存在x1，x2∈[a，b]使f(x1)≤g(x2)成立⇔f(x)min≤g(x)max，转化为最值问题求解． 2．如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要对问题做等价转化，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错． 1 一轮 · 数学 课