第2章 第10节 第3课时 利用导数证明不等式-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套课件（人教A版 老教材 老高考）

第三课时　利用导数证明不等式 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1. 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1．(2023·天津模拟)已知函数f(x)＝(x－a)ex在x＝1处取得极值． (1)求实数a的值； (1)解：f′(x)＝(x－a＋1)ex，由于f(x)在x＝1取得极值，所以f′(1)＝0，即(2－a)e＝0，解得a＝2. 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)>－x－2. (2)证明：由(1)知f(x)＝(x－2)ex，不等式f(x)>－x－2，即(x－2)ex＋x＋2>0.令g(x)＝(x－2)ex＋x＋2，则g′(x)＝(x－1)ex＋1.令g′(x)＝p(x)＝(x－1)ex＋1，则p′(x)＝xex，因为x>0，所以p′(x)>0，因此p(x)即g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g′(x)>g′(0)＝0，于是g(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此g(x)>g(0)＝0，故原不等式成立． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 角度(二)　放缩后构造函数证明不等式 典例2　已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造便于求导的函数，从而达到证明的目标． 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 题型二　双变量不等式的证明 典例　(2023·长沙调研)已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－b－1)x＋b＋1(a，b∈R)． (1)若a＝0，试讨论f(x)的单调性； 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 (2)[证明]　由f(x)＝m－ax2得 ln x＋(a－2)x＋2－m＝0， 令g(x)＝ln x＋(a－2)x＋2，x>0， 则g(x1)＝g(x2)＝m， 依题意有ln x1＋(a－2)x1＝ln x2＋(a－2)x2. 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 　这类双变量不等式的基础处理思路有：(1)对不等式进行等价变形，把两个变量分离在不等式两端，①如果两端的解析式结构形式相同，则以该解析式的结构构造函数，问题等价于构造的函数具备某种单调性；②如果两端变量的解析式结构不同，即出现f(x1)＞g(x2)类的不等式，则只需证明f(x1)min＞g(x2)max； 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 1 一轮 · 数学 课时作业 巩固提升 关键能力 重点探究 已知函数f(x)＝ln x－ax(x＞0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2＞e