第2章 函数、导数及其应用-【优化探究】2024高考文科数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版 老教材 老高考）

　函数与导数综合问题的突破策略 1 一轮 · 数学 B 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 典例2　已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程． (1)对数形式：x≥1＋ln x(x＞0)，当且仅当x＝1时，等号成立． (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x(x＞0，且x≠1)． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 典例3　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线的斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (1)[解]　由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a， 则f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2， 1 一轮 · 数学 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 所以，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故当x＝ln 2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值． 1 一轮 · 数学 (2)求证：当x＞0时，x2＜ex； 1 一轮 · 数学 (3)求证：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex. 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 2．“拆分法”构造函数 当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式，进而证明f(x)max≤g(x)min即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准． 1 一轮 · 数学 B 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 4．“转化法”构造函数 在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将此不等式化简为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的过程． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 通过二次求导，我们可以判断出第一次求导中的导函数的符号，并最终解决问题． 1 一轮 · 数学 2．“二次求导”与证明问题 典例8　已知函数f(x)＝xln x－ex＋1. (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 1 一轮 · 数学 (2)证明：f(x)＜sin x在(0，＋∞)上恒成立． 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 1 一轮 · 数学 本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的办法判定导数的符号，获得函数的单调性，再利用单调性证明不等式． 1 一轮 · 数学 $$第十节　导数的应用 1 一轮 · 数学 必备知识 知识梳理 命题分析预测 学科核心素养 从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视. 本节通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养. 1 一轮 · 数学 必备知识 知识梳理 知识点一　利用导数研究函数的单调性 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系 (1)若________，则f(x)在区间(a，b)上是增函数； (2)若________，则f(x)在区间(a，b)上是减函数； (3)若________，则f(x)在区间(a，b)内是常数． f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0 1 一轮 · 数学 必备知识 知识梳理 • 温馨提醒 • f′(x