第2章 函数、导数及其应用-【优化探究】2024高考理科数学一轮复习高考总复习配套课件（北师大版 老教材 老高考）

专题提能 函数与导数综合问题的突破策略 一轮 · 数学 B 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程． (1)对数形式：x≥1＋ln x(x＞0)，当且仅当x＝1时，等号成立． (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋ln x(x＞0，且x≠1). 一轮 · 数学 (二)构造辅助函数求解导数问题的策略 1．“比较法”构造函数 当试题中给出简单的基本初等函数，例如f(x)＝x3，g(x)＝ln x，要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时，可以采用类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0即可，在求最值的过程中，可以利用导数．此外，在能够说明g(x)＞0(f(x)＞0)的前提下，也可以采用类比作商法，构造函数 证明h(x)min≥1(φ(x)max≤1). 一轮 · 数学 　已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线的斜率为－1． (1)求a的值及函数f(x)的极值； [解]　由f(x)＝ex－ax得f′(x)＝ex－a，则f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2． 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2，令f′(x)＝0，得x＝ln 2． 所以，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 故当x＝ln 2时，f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值． 一轮 · 数学 (2)求证：当x＞0时，x2＜ex； [证明]　令g(x)＝ex－x2(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝ex－2x， 由(1)得g′(x)≥f(ln 2)＞0， 所以g(x)为增函数， 因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0， 即x2＜ex. 一轮 · 数学 (3)求证：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2＜cex. 一轮 · 数学 一轮 · 数学 2．“拆分法”构造函数 当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式，进而证明f(x)max≤g(x)min即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准． 一轮 · 数学 B 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 4．“转化法”构造函数 在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将此不等式化简为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的过程． 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 一轮 · 数学 (三)“二次求导”在导数综合题中的应用策略 1．“二次求导”与函数单调性 一轮 · 数学 ∵0＜x＜π，∴g′(x)＜0， 即函数g(x)在(0，π)上是减函数， ∴g(x)＜g(0)＝0， 因此f′(x)＜0， 故函数f(x)在(0，π)上是减函数， ∴当0＜x1＜x2＜π时，有f(x1)＞f(x2)，即a＞b. 一轮 · 数学 通过二次求导，我们可以判断出第一次求导中的导函数的符号，并最终解决问题． 一轮 · 数学 2．“二次求导”与证明问题 　 已知函数f(x)＝x ln x－ex＋1． (1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； [解]　依题意得f′(x)＝ln x＋1－ex， 又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)， 即y＝(1－e)x. 一轮 · 数学 (2)证明：f(x)＜sin x在(0，＋∞)上恒成立． [证明]　依题意，要证f(x)＜sin x， 即证x ln x－ex＋1＜sin x， 即证x ln x＜ex＋sin x－1． 当0＜x≤1时，ex＋sin x－1＞0， x ln x≤0， 故x ln x＜ex＋sin x－1，即f(x)＜sin x. 当x＞1时， 令g(x)＝ex＋sin x－