【数学思想】第2讲：转化与化归思想在导数解答题中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第2讲 转化与化归思想在导数解答题中的应用 数学解题过程中处处渗透着转化与划归思想，学生解题能力高低很大程度取决于其转化与划归思想能力的强弱。 简单点说，转化与化为思想，就是通过观察、分析、联想等思维过程把学生需要解决的问题遵循熟悉化、简单化。直观化等原则，选择合适的方法进行转化，然后归结到某些已解决或者比较容易解决问题的一种思维方法。 【应用一】利用转化与化归思想解决不等式问题 在高考中导数作为必考解答题之一，与导数有关的不等式的证明是考查的重点。函数的不等式问题，一直是常考问题，解决不等式问题我们一般的想法是根据函数单调性进行求解，但有的时候，题目给出的不等式中会含有不止一个变量，无法直接利用函数的单调性，此时就需要我们对不等式进行变形，将陌生的问题转化为我们熟悉的构造函数的问题 【例1.1】【2021年新高考1卷】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【思维提升】 转化与化归思想常见的由一下一些解法： 方法一：利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法转化成不等式，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 【变式1.1】（2022·山东莱西·高三期末）已知，其中，. (1)求在上为减函数的充要条件； (2)求在上的最大值； (3)解关于x的不等式：. 【变式1.2】【2022年全国甲卷】已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 【变式1.3】（2023·广东肇庆·统考一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设是两个不相等的正数，且，证明：. 【变式1.4】（2023·广东揭阳·统考模拟预测）已知函数， (1)函数图像在处的切线与函数相切，求实数a的值； (2)函数与函数图像有两个不同交点， （i）求a的取值范围； （ii）若，证明：． 【应用二】利用转化与化归思想解决单调性等方面的恒成立问题的问题 函数的单调性是作为函数的一个重要的性质，也是高考中常考查的一个性质。主要是考查给定区间的单调性。 【例2.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知函数. (1)若且函数在上是单调递增函数，求的取值范围； 【思维提升】导数中考查单调性的大题，往往是考查含参的给定区间的单调性。解决此题的关键要注意：(1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． 【变式2.1】（（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数. (1)若在单调递增，求实数的取值范围； 【变式2.2】（（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知函数. (1)当时，求函数在上的最值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【变式2.3】（（2022·江苏海安·高三期末）已知函数(a∈R)． (1)若是单调增函数，求a的取值范围； (2)若，是函数的两个不同的零点，求证：． 【应用三】利用转化与化归思想解决零点、极值点问题问题 函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的解题思路就是转为函数或者方程根与最值得问题。 【例3】【2021年甲卷理科】已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【思维提升】 研究函数的零点与极值点问题最常用的方法就是转化为函数与方程的根的问题。经常运用以下的方法：方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论. 【变式3.1】（2022·广东潮州·高三期末）已知函数，在定义域上有两个极值点． (1)求实数a的取值范围； (2)求证: 【变式3.2】（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 (1)若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【变式3.3】【2022年新高考1卷】已知函数和有相同的最小值． (1)求a； (2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 【变式3.4】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范