3.1.2 函数的单调性【10大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

3.1.2 函数的单调性 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数在区间D上是单调递增函数 当时，都有，那么就说函数在区间D上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间D⊆定义域I. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 4、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 二、函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数其定义域为D，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作. （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数，其定义域为D，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即时，是函数的最小值，记作. （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 3、利用函数的单调性求最值的常用结论 （1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值； （2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值. 【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。 三、单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 四、复合函数的单调性判定 对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性如下表所示，简记为“同增异减”. 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 五、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 六、定义法证明函数单调性 1、定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 2、利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； （2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。 题型一 对函数单调性的理解 【例1】（2023·全国·高三专题练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ） A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数 C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0，则f(x)在(a，b)上（ ） A．增函数 B．减函数 C．不增不减函数 D．既增又减函数 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ）