2023-2024学年广东省深圳市八年级上学期数学期末冲刺专项练习：动点、最值几何综合问题

2023-2024学年广东省深圳市八年级上数学期末冲刺专项练习： 动点、最值几何综合问题 一、解答题 1．如图，在长方形中，，，，，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点P是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 2．已知：和均为等腰直角三角形，，连接，，点为中点，连接． (1)如图1所示，点、分别在边、上，求证：且； (2)将绕点旋转到图2所示位置时，线段与又有怎样的关系证明你的结论． (3)如图3所示，当，时，求长的取值范围． 3．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、． (1)求证：； (2)求的面积； (3)在的条件下，求周长的最小值． 4．如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当秒时，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 5．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边△ABC，D是△ABC外一点，连接AD、CD、BD，若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长．该小组在研究如图2中△OMN≌△OPQ中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程． 解：如图3所示，以DC为边作等边△CDE，连接AE． ∵△ABC、△DCE是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠DCE＝60°． ∴∠BCA+∠ACD＝ +∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， ∴ ， ∴AE＝BD＝5． ∵∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． ∵AD＝3， ∴CD＝DE＝ ． 【尝试应用】如图4，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，BC＝4，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰直角△ACD，求BD的长． 【拓展创新】如图5，在△ABC中，AB＝4，AC＝8，以BC为边向外作等腰△BCD，BD＝CD，∠BDC＝120°，连接AD，求AD的最大值． 6．点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足，，DG平分∠BDE． (1)如图1，当点G在F右侧时，求证：； (2)如图2，当点G在F左侧时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若，，则∠DBF的度数为______． 7．【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）． 【问题思考】（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　． （2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D． ①若∠BAO＝70°，则∠D＝　 　°． ②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由； 【问题拓展】（3）在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　 　.（用含a的代数式表示） 8．如图，已知直线与直线AC交于点A，与轴交于点B，且直线AC过点和点，连接BD． （1）求直线AC的解析式． （2）求交点A的坐标，并求出的面积． （3）在x轴上是否存在一点P，使得周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，中，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的周长． （2）问为何值时，为等腰三角形？ （3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若两点同时出发，当中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 10．如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动． (1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等； ①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由． ②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？ (2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是     cm/s．（请直接写出答案） 11．最值问题． （1）如图（1），在中，有一点P在上移动，若，，求的最小值． 　　　　　　 （2）如图（2