第12章全等三角形重难点专题2：半角模型（课件+练习）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第12章 全等三角形 八年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 八年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 专题2 半角模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 (1)以上三种半角模型均可通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造三角形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系； (2)等腰直角三角形含45°模型还可通过翻折法解决问题，即将等腰直角三角形的两腰分别沿45°角的两边折叠，使两直角边重合，两底角构成直角； 半角模型解题思路 (1)以上三种半角模型均可通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造三角形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系； (2)等腰直角三角形含45°模型还可通过翻折法解决问题，即将等腰直角三角形的两腰分别沿45°角的两边折叠，使两直角边重合，两底角构成直角； (3)正方形含45°模型还可通过补短法解决问题，即找出相等的两条线段所在的两个直角三角形，延长其中一个直角三角形较短的直角边，使其等于另一个直角三角形较短的直角边的长度，连接公共端点与延长后的端点. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：(1)证明：如图，延长CB至E使得BE=DN， 连接AE，易证△ABE≌△ADN ∴∠BAE=∠DAN，AE=AN ∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90° ∵∠MAN=45°  ∴∠EAM=∠MAN ∵AM是公共边， ∴△AEM≌△ANM ∴ME=MN  即BM+BE=MN  ∴BM+DN=MN. E 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M、N. (1)当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，求证：MN=BM+DN. B D A M C N BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 解：(2)延长MB到E，使BE=DN，连接AE， 在△AND与△AEB中， AB=AD ∠D=∠ABE BE=DN ∴ △AND≌△AEB（SAS）， ∴∠DAN=∠BAE， ∴AN=AE， ∵∠BAD=90°，∠MAN=45°， ∴∠BAM+∠DAN=45°， 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M、N. E (2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明. D A B M C N BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 D C N M B A (3)当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明. 已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M、N. 解：(3) DN-BM=MN 证明如下： 在DC上截取DE=BM，连接AE， 在△ADE与△ABM中， AB=AD ∠D=∠ABM BM=DE ∴ △ADE ≌△ABM（SAS）， ∴∠DAE=∠BAM，AE=AM， ∵∠MAN=45°， E BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 ∴∠BAM+∠NAB=45°， ∴∠DAE+∠NAB=45°， ∴∠EAN=∠MAN=45° 在△EAN与△MAN中， AM=AE ∠EAN=∠MAN， AN=AN ∴ △EAN≌△MAN（SAS）， ∴MN=EN， ∴ DN-BM=MN D C N M B A (3)当∠MAN绕点A旋转到如图的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明. E 例2 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型展示 等腰直角三角形含45° 正方形含45° 120°等腰三角形含60° 模型特点 AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45° ∠BAD＝90°，∠EAF＝45° ∠BDC＝120°，∠EDF＝60° 模型展示 等腰直角三角形含45° 正方形含45° 120°等腰三角形含60° 结论 ①△AED≌△AEF； ②△CEF为直角三角形； ③BD2＋CE2＝DE2 ①△AEF≌△AEG； ②△AGF为等腰直角三角形； ③EF＝BE＋DF ①△DEF≌△DGF； ②EF＝BE＋CF