第12章全等三角形重难点专题3：一线三角模型（课件+练习）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第12章 全等三角形 八年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 八年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 专题3 一线三角模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 一线三角模型 A B A C E F A B C D E E D C B 1 2 3 “一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧. BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 一线三直角模型 A B C E F C F B F A G E D A G E BY YUSHEN BY YUSHEN 一线三角模型证明方法 模型解读 BY YUSHEN BY YUSHEN 证明角度相等方法 ①等边对等角 ②对顶角相等 ③平行线性质 ④角度的和差关系 ⑤证明角所在的三角形全等或相似 ⑥四点共圆，对角互补 ⑦圆周角定理 ⑧等（同）角的余（补）角相等 证明线段相等方法 等角对等边 线段的和差关系 证明线段所在的三角形全等 斜边中点定理 中位线定理 典例精析 例1 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C 分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． (1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE; (2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE; (3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE 三者之间的数量关系式为____________. 1 2 3 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C 分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． (1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE; 解：（1）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． ∴∠BDA=∠CEA=90° ∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90° 则∠ABD=∠CAE 在△BDA和△AEC中   ∴△BDA≌△AEC（AAS） ∴AD=CE，BD=AE∴BD+CE=AE+AD=DE BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C 分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． (2)当直线l在△ABC的内部如图2所示时，求证：DE=BD－CE; 解：（1）∵BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． ∴∠BDA=∠CEA=90° ∴∠BAD+∠ABD=180°-∠BDA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=90° 则∠ABD=∠CAE 在△BDA和△AEC中   ∴△BDA≌△AEC（AAS） ∴AD=CE，BD=AE∴DE=AE-AD=BD-CE BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C 分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E． (3)当直线l在△ABC的内部如图3所示时，直接写出DE， BD，CE 三者之间的数量关系式为____________. DE=CE-BD BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 对于一线三直角模型的再理解 特征：过等腰直角三角形顶点的直线 位置：在三角形内部或者外部 辅助线作法：过两个底角顶点作 直线的垂线 证明方法：AAS或者ASA 应用：平面直角坐标系 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 一线三角模型变式 A B C E F BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 一线三角模型变式 C F A G E 赵爽弦图 BY YUSHEN BY YUSHEN 模型解读 一线三角模型变式 十字架模型 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是BC，AC上的点， BE，AD交于点F，∠AFE=60°．求证：AD= BE． 解：∵△BAC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC ∵∠AFE=60°且是△BFA的外角 ∴∠BAF +∠FBA =∠AFE=60°. ∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60° ∴∠EBA=∠DAC 在△BAE和△ACD中 ∴△BAE≌△ACD（ASA） ∴