1.3一元二次方程根与系数的关系（分层练习）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.3一元二次方程根与系数的关系 （分层练习） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.方程2x2﹣1＝6x的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　） A． B． C．﹣3 D．3 2.若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3. 已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （   ） A． B．2 C． D．4 5.已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．方程的根有可能为0 6.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 7.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 8.已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（    ） A． B． C．或3 D．或1 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知方程的两根分别是，，则的值为_________． 10. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 11.已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是－1，则方程的另一个根为____． 12.若是一元二次方程的两个根，则＝___________． 13.设是方程的两个根，则______． 14.若m、n是一元二次方程的两个根，则______． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 16.若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知是方程的两根，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 18.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 19.的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 20.已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 21.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 22.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是___________； ①    ②    ③ (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________； (3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.方程2x2﹣1＝6x的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　） A． B． C．﹣3 D．3 【答案】D 2.若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 4. 已知，是关于的方程的两根，下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 4.已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 5.已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是　　 A． B． C． D．方程的根有可能为0 【答案】B 6.关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．有两个相异正根 B．有两个相异负根 C．有一个正根和一个负根 D．无实数根 【答案】C 7.若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 8.已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（    ） A． B． C．或3 D．或1 【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.已知方程的两根分别是，，则的值为_________． 【答案】 10. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】且 11.已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是－1，则方程的另一个根为____． 【答案】－2 12.若是一元二次方程的两个根，则＝___________． 【答案】3 13.设是方程的两个根，则______． 【答案】9 14.若m、n是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 16. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根为______． 【答案】4 16.若、是关于的方程的两个不相等的实数根，且，则的值为 ． 【答案】3 三、解答题（本题共6小题，共52分） 17.已知是方程的两根，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】由韦达定理，得：，． （1） 原式=； （2） 原式 ； （3） 原式=； （4） 原式． 18.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 19.的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】（1） ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得，， ， ， 解得或， 即的值为或． 20.已知：关于x的方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值． 【答案】（1）证明：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根． ②当k≠0时，方程是一元二次方程， ∵， ∴一元二次方程有两实数根． 综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根． （2）∵此方程有两个实数根x1，x2， ∴． ∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4． ∴，解得k=1或 21.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个实数根； （2）若一元二次方程有两个根和，且，求k的值． 【答案】（1）△， 无论为何实数，方程总有两个实数根； （2）解：由根与系数的关系知， ， 又， 则联立方程组， 解得． 将代入原方程得， ， 解得或， 的值为0或． 22.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)下列方程是三倍根方程的是___________； ①    ②    ③ (2)若关于x的方程是“三倍根方程”，则c=___________； (3)若是关于x的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）解：由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，不满足“三倍根方程”的定义；由可得：，满足“三倍根方程”的定义； 故答案为③； （2）解：设关于x的方程的两个根为，由一元二次方程根与系数的关系可知：，， 令，则有， ∴，， ∴； （3）解：由可得：， ∴， 令，则有： ． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$