专题3-5 解三角形小题12题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 3.5 解三角形小题归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 求角 · 【题型二】 判断三角形形状 · 【题型三】 三角形几解问题 · 【题型四】 解三角形求长度 · 【题型五】 解三角形求面积 · 【题型六】 正余弦定理应用：求比值 · 【题型七】 正余弦定理应用：有边有对角型 · 【题型八】 最值型：角与对边求长度型 · 【题型九】 最值型：角与对边求面积型 · 【题型十】 最值型：向量与解三角形 · 【题型十一】最值型： 判断角度范围型 · 【题型十二】最值型：正切函数型 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 正余弦定理 (1)正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 ； 注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②正弦化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ④＝ 2R ； (2) 余弦定理： ①a2＝b2＋c2－2bccos_A； ②b2＝c2＋a2－2cacos_B； ③c2＝a2＋b2－2abcos_C 注意：变式： ①cos A＝； ②cos B＝； ③cos C＝ (3) 三角形面积 ： ①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝ ②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径) 解三角形：最值范围 1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。 2. 可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制 热点考题归纳 【题型一】求角 【典例分析】 1.（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则角（       ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，.若，，则（       ） A． B． C． D． 【提分秘籍】 辅助角公式 【变式演练】 1.（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（文））已知锐角的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角C的大小为(       ) A． B． C． D． 2.（2022·全国·高三专题练习）中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（       ）． A． B． C． D． 3.（2021·四川·石室中学一模（理））已知在中，点D是边AB上的点，且，，则的值为（       ） A． B． C． D． 【题型二】判断三角形形状 【典例分析】 1.在中，角的对边分别为，若，且，则为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 2.在中，若，且，则是（    ）. A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式演练】 1.在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 2.在中，若，则的形状为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3.在△中，“”是“△为钝角三角形”的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【题型三】三角形几解问题 【典例分析】 1.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形的解的情况是（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 2.在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 【提分秘籍】 判断三角形解的个数有2种： 画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。 ①若无交点，则无解； ②若有一个交点，则有一个解； ③若有两个交点，则有两个解； ④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。 公式法：运用正弦定理进行求解。 ①a＝bsinA，△＝0，则一个解； ②a＞bsinA，△＞0，则两个解； ③a＜bsinA，△＜0，则无解。 【变式演练】 1.．在中，若，，，则此三角形解的情况为（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解 2.在中，若，，，则此三角形解的情况为（    ） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定 3.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ） A．，有两解 B．，有唯一解 C．，无解 D．，有唯一