3.1.1 函数及其表示方法【12大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

3.1.1 函数及其表示方法 一、函数的概念 1、变量观点的定义 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数． 2、集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A},称为函数的值域． 【注意】（1）y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). （2）函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示． 二、函数的三要素 1、函数的定义域 函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约． 2、对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量． 3、值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 三、同一个函数 1、定义：一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等），则称这两个函数就是同一个函数． 2、判断方法：判断两个函数是否为同一个函数，要看函数的三要素是否对应相同，如果没有特殊要求，那么函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否相同即可。 四、函数的表示方法 常用的函数的表示方法有三种：列表法、图像法和解析法。 1、解析法 （1）定义：在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的方法． （2）优点：通过解析式可求出任意一个自变量所对应的函数值，且便于研究函数的性质． （3）缺点：不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示。 2、列表法 （1）定义：通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法； （2）优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值； （3）缺点：只能表示自变量取值为有限个的函数，且从表中很难看出函数的性质． 3、图象法 （1）定义：用函数的图象表示两个变量之间关系的方法； （2）优点：能形象、直观地表示出函数值的变化情况； （3）缺点：只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大． 五、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、无穷大的概念 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．用－∞，+∞作为区间的一端或两端的区间，称为去穷区间，表示如下： 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 六、抽象函数与复合函数 1、抽象函数：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数。 2、复合函数：设函数的定义域为，函数的定义域为。当在内变化时，的值在的定义域内变化。将变量与之间通过形成的一种函数关系记为，称为复合函数。其中称为自变量，称为中间变量，为函数。为内层函数，为外层函数。 3、抽象函数与复合函数定义域的求法 复合函数的定义域是指的范围，而不是的范围。 （1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围（值域）为，求的取值范围; （2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求出的范围（值域），即的定义域. （3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域，即的取值范围，再根据的取值范围求出的范围。 七、分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数