2.2.3一元二次不等式的解法（第二课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

2.2.3一元二次不等式的解法（2） 函数是我们初中学过的一元二次函数，它与一元二次不等式有什么样的关系呢？这节课我们一起研究一下吧. 1.掌握一元二次不等式的解法及分式不等式的解法.(重点） 2.能用分类讨论的思想方法分析解决含参数的一元二次不等式问题.(重点） 3.掌握不等式中恒成立问题，感悟分类讨论的数学思想.（难点） 作二次函数的图象,它的对应值表与图象如下： 思考：(1)图象与轴交点的坐标为____________, 该坐标与方程的解有什么关系： . 探究点1 一元二次不等式的解法 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 y x -2 3 -6 0 (-2,0)、(3,0) 交点的横坐标即为方程的根 (2)当取 ______________ 时,； 当取______________ 时,； 当取______________ 时,. -2 3 y>0 y>0 y<0 y O （3）由图像写出 不等式 的解集为 , 不等式的解集为 . 或3 <-2 或 >3 -2<<3 ﹛|<-2或>3﹜ ﹛|-2<<3﹜ 一元二次不等式解集表（） x1 x2 二次函数 () 的图象 一元二次不等式 （） 的解集 x1(x2) 有两个不等实根 ,() ﹛|或﹜ ﹛|﹜ 有两个相等实根 无实根 ﹛|﹜ R y x x y x y 一元二次不等式 （） 的解集 0 0 0 一元二次方程 () 的根 例1.解不等式（1）；（2）. 【解析】 （1）原不等式可化为. . 所以不等式解集为. （2）原不等式可化为 令，得. 所以不等式解集为. 【提升总结】解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式（不等号右侧为0，二次项系数为正）; (2)确定判别式Δ的符号; (3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若Δ<0，则对应的二次方程无根; (4)结合二次函数的图象得出不等式的解集. 特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集. 例2 解关于的不等式：. 【解析】 （1）原不等式可化为. 令，得. ①当或时，,不等式解集为 ②当时，,不等式解集为； ③当时，解集为{|∈R，且≠0}； ④当时，解集为{|∈R，且≠1}． 需要比较 两根大小 ①由得 ②由得 或 ③由得 探究点2：含参数的一元二次不等式的解法 跟踪训练： 解关于的不等式：. 【解析】 （1）原不等式可化为. 方程的解为 . 因为 所以不等式解集为. 探究点3 简单分式不等式的解法 例3 求不等式的解集 . 【解析】 （方法一）由题意知.因此, 原不等式两边同时乘以可得 且 即且, 因此，不等式的解集为. 去分母 （方法二） 由 所以 题意知. 所以不等式可化为 因此，不等式的解集为. 同号 同号 因此， 【总结】 跟踪训练：解下列不等式. （1）;（2）. 【解析】 （1）题意知. 所以不等式可化为 因此，不等式的解集为. （2）由所以 题意知. 所以不等式可化为 因此，不等式的解集为. 探究点4 不等式恒成立问题 例4 已知不等式对所有的实数恒成立，求的取值范围. 【解析】 因为不等式恒成立， 当时，不等式化为,恒成立，符合题意. 当时，需满足 解得 即的取值范围是. 分析：要判断是几次不等式，讨论与2的大小； 不等式恒成立，即函数图像全部在轴下方. 一元二次不等式恒成立 【总结】 一元二次不等式恒成立 一元二次不等式恒成立 一元二次不等式恒成立 跟踪训练： 已知不等式对所有的实数恒成立，求的取值范围. 【解析】 因为不等式恒成立， 所以 解得 即的取值范围是. 一元二次不等式 一元二次方程 二次函数 思想方法: 数形结合 分类讨论 化归 简单分式不等式的解法，可先整理成标准型eq \f(fx,gx)>0(<0)或eq \f(fx,gx)≥0(≤0)，再化成整式不等式来解． 1.eq \f(fx,gx)>0⇔___________. 2.eq \f(fx,gx)<0⇔___________. 3.eq \f(fx,gx)≥0⇔___