教材回归专题(9) 锐角三角函数值的求法word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（浙教版）

教材回归专题(九)　锐角三角函数值的求法 【教材母题】 (教材P5例1) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3.求∠A的正弦、余弦和正切． 　教材母题图 解：在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝4， ∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝. 【思想方法】 求三角函数值的方法较多，解法灵活，在具体的解题过程中，要根据已知条件灵活采取不同的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值． 【变式1】 (在平面直角坐标系中求三角函数值) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos α的值为(　D　) 第1题图 A. B. C. D. 【变式2】 (在网格中求三角函数值) 2．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，已知点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin ∠ADC的值为(　A　) 第2题图 A. B. C. D. 【解析】 连结AC，BC. 由题意，得∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，AB＝＝， ∴sin∠ADC＝sin∠ABC＝＝. 3．如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，求sin A的值． 　第3题图 解：设每个小正方形的边长为a， 如答图，过点C作CD⊥AB于点D. 第3题答图 由图可得CD＝4a，AD＝3a， ∴AC＝＝5a， ∴sin A＝＝＝. 【变式3】 (改变问题背景，构造直角三角形求三角函数值) 4．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β.求tan β的值． 　第4题图 解：如答图，过点A作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于点H. 第4题答图 设正六边形的边长为a，则正六边形的外接圆半径为a，边心距为a. 观察图形可知，BH＝a，AH＝a. ∵AT∥BC，∴∠BAH＝β， ∴tan β＝＝＝. 1. 如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是(　C　) A. B. C. D. 　第1题图 　　　 第1题答图 【解析】 如答图，延长AC至格点D，连结BD. ∵每个小正方形的边长为1， ∴AD＝2，BD＝，AB＝5， ∴AD2＋BD2＝25＝AB2， ∴∠D＝90°， ∴cos∠BAC＝＝. 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若BD＝2，AC＝6，则tan ∠BAC＝____. 第2题图 3. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，则tan∠ADF＝____. 第3题图 【解析】 ∵大正方形ABCD的面积是100， ∴AD＝10. ∵小正方形EFGH的面积是4，∴EF＝2， ∴DF－AF＝2. 设AF＝x，则DF＝x＋2. 由勾股定理，得x2＋(x＋2)2＝102， 解得x1＝6，x2＝－8(舍去)， ∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF＝＝. 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sin A＝.求： (1)BD的长． (2)tan C的值． 　第4题图 解：(1)∵AB＝AC＝13，BD⊥AC，sin A＝， ∴＝，即＝，∴BD＝12. (2)∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5，∴DC＝8， ∴tan C＝＝. 5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.求： (1)BC的长． (2)tan ∠DAE的值． 　第5题图 解：(1)∵AD是BC边上的高线， ∴AD⊥BC. 在Rt△ABD中，sin B＝＝. 又∵AD＝1，∴AB＝3， ∴BD＝＝2. 在Rt△ADC中，∵∠C＝45°， ∴CD＝AD＝1， ∴BC＝BD＋CD＝2＋1. (2)∵AE是BC边上的中线， ∴EC＝BC＝＋， ∴DE＝EC－CD＝－， ∴tan ∠DAE＝＝－. 6. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是的中点，BC与AD，OD分别相交于点E，F，连结CA，CD. (1)求证：OD∥AC. (2)求证：DE·DA＝DC2. (3)若tan ∠CAD＝，求sin ∠CDA的值． 　第6题图 解