课时跟踪检测40 同角三角函数关系（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（四十） 同角三角函数关系 A级——综合提能 1．已知tan α＝2，则的值为(　 ) A．－4 B. C．－ D．± 解析：选B　由tan α＝2，得＝＝＝. 2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　 ) A. B. C．1 D. 解析：选C　原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1. 3．化简 的结果是(　 ) A．sin 2＋cos 2 B．sin 2－cos 2 C．cos 2－sin 2 D．－sin 2－cos 2 解析：选B　＝＝|sin 2－cos 2|.∵<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴原式＝sin 2－cos 2. 4．若tan α＝，则sin αcos α＝(　 ) A．1 B. C. D. 解析：选D　∵sin αcos α＝＝，又tan α＝， ∴sin αcos α＝＝. 5．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形的形状是(　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选B　由α∈(0，π)，将sin α＋cos α＝两边平方，得2sin αcos α＝－1<0.而sin α>0， ∴cos α<0，故α为钝角．故选B. 6．化简(1＋tan215°)·cos215°＝________. 解析：(1＋tan215°)·cos215°＝·cos215°＝·cos215°＝1. 答案：1 7．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝________，tan2α＋＝________. 解析：∵tan α＋＝＝3，∴sin αcos α＝，tan2α＋＝2－2＝9－2＝7. 答案：　7 8．若<α<π，sin αcos α＝－，则tan α＝________. 解析：由sin αcos α＝＝＝－，整理，得(2tan α＋1)(tan α＋2)＝0， 解得tan α＝－或tan α＝－2.因为<α<π，所以tan α∈(－1,0)．故tan α＝－. 答案：－ 9．求证：＝. 证明：∵左边＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝右边，∴原等式成立． 10．化简下列各式． (1)； (2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α. 解：(1)＝ ＝＝＝1. (2)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α ＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α ＝(cos2α＋sin2α)2＝1. B级——应用创新 1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　由三角函数定义，得tan α＝.即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去)． 2．若tan α＝m，α是第二象限角，则cos α等于(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选A　∵α是第二象限角，且tan α＝m， ∴m<0，sin α>0，cos α<0.由mcos α＝sin α， 代入平方关系得到m2cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝.∴cos α＝－. 3．若实数α，β满足方程组则β的一个值可以是________． 解析：由 可得9sin2x＋9cos2x＝(2cos β)2＋(2sin β＋1)2， 即9＝4＋4sin β＋1，所以sin β＝1. 所以β＝＋2kπ，k∈Z.所以当k＝0时，β＝. 答案：(答案不唯一，满足β＝＋2kπ，k∈Z即可) 4．在①sin α＋cos α＝，②log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1这两个条件中任选一个，补充在下面横线中，并解答． 若α∈R，且________，求tan α的值． 解：若选条件①， 由sin α＋cos α＝两边平方得1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝，即sin αcos α＝. 可得＝，即＝. 得2tan2α－5tan α＋2＝0. 解得tan α＝或tan α＝2. 若选条件②， ∵log4(2sin α＋cos α)＋log4(sin α＋2cos α)＝1， ∴log4[(2sin α＋cos α)×(sin α＋2cos α)]＝1， 即(2sin α＋cos α)×(sin α＋2cos α)＝4， 化简得2sin2α＋5sin αcos α＋2cos2α＝4. ∴＝4， 即＝4. 得2tan2α－5tan α＋2＝0， 解得t