7.2.1 任意角的三角函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

168 / 168 7．2.1　任意角的三角函数 第 1 课时　三角函数的概念 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助单位圆理解任意角的三角函数的定义． 2．能利用定义求三角函数值及参数值．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．任意角三角函数的定义 前提 如图，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r，则r＝，我们规定： 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝ 余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝ 正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，这三种函数都称为α的三角函数 微点助解 (1)任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集． (2)当α＝＋kπ(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x＝0，所以tan α＝无意义． (3)三角函数的记号是一个整体，离开α的sin，cos，tan等是无意义的，如sin α表示的是一个比值而不是sin与α的积． (4)因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数或其子集的函数． 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合，r＝OP，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 微点助解 三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点P到原点O的距离r＝OP＝，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [基点训练] 1．判断正误： (1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tan α不存在．(　 ) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.(　 ) (3)正切函数y＝tan x的定义域为.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 答案：B 3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5.所以cos α＝＝－. 题型(一)　已知角的终边上一点求三角函数值 [典例]　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为，则sin α＝(　 ) A．－ B．± C．± D．± (2)求的正弦、余弦和正切值. [解析]　(1)由题意，得2＋y2＝1. ∴y＝±.∴sin α＝y＝±.故选C. [答案]　C (2)在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin＝，cos＝－，tan＝－. 利用单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值．　　 [针对训练] 1．已知角α的终边经过点M(1，)，则cos α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由三角函数的定义可得cos α＝＝. 2．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选A　由P，得P.则sin α＝＝，tan α＝＝－.故sin αtan α＝－. 题型(二)　已知角α终边所在直线求三角函数值 [典例]　已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，求角α余弦值为(　 ) A.　　　　　　　　　　 B．± C. D．± 　　　　　　　　　　　　 [解析]　因为角α的终边在直线3x－y＝0上，则角α在第一象限或第三象限，可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点，所以cos α＝±＝±. [答案]　D [方法技巧] 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意角的终边为射线，所以应分两种情况处理．取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值．　 [针对训练] 已知角α的终边落在直线2x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：直线2x＋y＝0，即y＝－2x， 经过第二、第四象限． 在第二象限取直线上的点(－1,2)， 则r＝＝3. 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2. 在第四象限取直线上的点(1，－2)， 则r＝ ＝3. 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2. 题型(三)　利用三角函数定义求点的坐标或参数 [典例]　已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α