6.3 对数函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

2 / 67 　　　　　　　　　　　 6.3　对数函数 第 1 课时　对数函数的概念、图象与性质 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念，并能求对数函数值． 2．探索并了解对数函数的单调性与特殊点，能简单应用． 3．初步掌握对数函数的图象和性质，会类比指数函数研究对数函数的性质． 4．了解反函数的概念与图象特点． (一)对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)． 微点助解 (1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，如y＝log2(x＋1)，y＝log2x2，y＝log2x＋5等都不是对数函数，只有形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数． (2)因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，因此对数函数的定义域是(0，＋∞)，且对数函数的底数a＞0，且a≠1. (3)判断一个函数是否是对数函数，不仅要看该函数中是否含有对数符号“log”，还要看是否符合对数函数的定义，即满足y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式． [基点训练] 1．下列函数，其中为对数函数的是(　 ) A．y＝log(－x)　　　　 B．y＝2log4(1－x) C．y＝ln x D．y＝log(a2＋a)x 解析：选C　根据对数函数的概念可知，选项C中的函数为对数函数．故选C. 2．若对数函数的图象过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________． 解析：设对数函数为y＝logax(a>0，且a≠1)， ∴2＝loga9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x. 答案：y＝log3x (二)对数函数的图象和性质 1．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 图象过点(1,0) 是增函数 当0<x<1时，y<0； 当x>1时，y>0 是减函数 当0<x<1时，y>0； 当x>1时，y<0 微点助解 (1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)根据对数函数的性质可知，对数函数y＝logax的图象恒过点，(1,0)和(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax的图象． (3)快速、准确地判断对数值logmn的符号的方法：对于正数m，n，有(m－1)(n－1)＞0⇒logmn＞0；(m－1)·(n－1)＜0⇒logmn＜0.巧记准确判断对数值符号的口诀：同正异负，即底数和真数同大于1或同大于0小于1时为正，否则为负． 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好相反．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)． 3．反函数的特点 互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同．互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． [基点训练] 1．函数y＝ln x＋1的反函数为(　 ) A．y＝ex＋1(x∈R)　　　 B．y＝ex－1(x∈R) C．y＝ex＋1(x＞1) D．y＝ex－1(x＞1) 解析：选B　y＝ln x＋1化为y－1＝ln x，将y－1看作整体，求得x＝ey－1，则其反函数为y＝ex－1.由于x＞0，则y＝ln x＋1∈R，因而y＝ex－1(x∈R)，故选B. 2．函数f(x)＝log2(2x－x2)的定义域为________． 答案：(0,2) 3．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数吗？ 解：不一定．当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数． 题型(一)　对数函数的概念及应用 [典例]　(1)给出下列函数： ①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.其中是对数函数的有(　 ) A．1个　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 (2)函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f等于__________． [解析]　(1)由对数函数的概念知①②③不是对数函数，④是对数函数． (2)∵函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，∴解得a＝2，∴f(x)＝log2x， ∴f＝log2＝－3. [答案]　(1)A　(2)－3 [方法技巧]　判断一个函数是对数函数的方法 [针对训练] 1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________. 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或1. 又a＋1＞0，