6.2 指数函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

2 / 67 6.2　指数函数 第 1 课时　指数函数的概念、图象与性质　 (强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解指数函数的概念，能求指数函数值及解析式． 2．会求与指数函数有关的定义域和值域问题． 3．探索并理解指数函数的单调性与特殊点，并能利用单调性解决简单的应用问题． (一)指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R. 微点助解 (1)为什么规定底数a＞0，且a≠1? ①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义． ②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如y＝(－2)x，对于x＝，，…，函数值不存在． ③若a＝1，则对任意的x∈R，ax＝1是一个常量，没有研究的必要性． 为了避免上述各种情况的发生，规定a＞0，且a≠1.有此规定后，对任意的x∈R，ax都有意义，且ax＞0. (2)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为什么是R? 指数的范围已经拓展到了实数，当a＞0，且a≠1，x是一个实数时，ax表示一个确定的实数，即ax(a＞0，且a≠1)对任意实数x都有意义，因此指数函数y＝ax的定义域是R. [基点训练] (多选)下列函数中，是指数函数的为(　 ) A．y＝0.75x B．y＝(－0.75)x C．y＝x5 D．y＝x 答案：AD (二)指数函数的图象与性质 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值 的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 微点助解 (1)当底数a是否大于1不确定时，必须分a＞1或0＜a＜1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)指数函数的图象都经过点(0,1)且图象都在x轴上方． (3)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可迅速地画出指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的大致图象． (4)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数的大小有如下关系： ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过当x＝1时，y的取值去理解．如图所示． [基点训练] 1．函数y＝3x的图象大致为(　 ) 解析：选A　因为3>1，所以y＝3x单调递增，且恒过点(0,1)． 2．函数f(x)＝ax－3＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(　 ) A．(0,1) B．(0,3) C．(3,3) D．(4,1) 解析：选C　对于函数f(x)，令x－3＝0，可得x＝3，则f(3)＝a0＋2＝3. 所以函数f(x)＝ax－3＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐标为(3,3)． 3．函数f(x)＝＋的定义域是________． 解析：依题意有 解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)． 答案：[2,4)∪(4，＋∞) 题型(一)　指数函数的概念 [典例]　(1)若函数y＝(m2－m－1)mx是指数函数，则m等于(　 ) A．－1或2 B．－1 C．2 D. (2)若函数f(x)是指数函数，且f(－2)＝，则(　 ) A．f(x)＝3x B．f(x)＝()x C．f(x)＝x D．f(x)＝x [解析]　(1)由题意可得 解得m＝2. (2)∵f(x)为指数函数， ∴可设f(x)＝ax(a>0且a≠1)． ∴f(－2)＝a－2＝＝，解得a＝. ∴f(x)＝()x. [答案]　(1)C　(2)B [方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一形式，其具备的特点为 (2)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． [针对训练] 1．(多选)下列函数是指数函数的是(　 ) A．y＝x B．y＝x－1 C．y＝2·3x－1 D．y＝mx(m>0且m≠1) 解析：选AD　由指数函数的定义知，A、D选项是指数函数．选项B，y＝x－1＝3x，不是指数函数．选项C，y＝2·3x－1，不是指数函数． 2．已知函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f＝________. 解析：由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝9，所以