第7章 三角函数 板块综合融会 三角函数图象与性质的综合（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

168 / 168 板块综合融会　三角函数图象与性质的综合 　　 (习题课—小结评价式教学) [建构知识体系] [融通学科素养] 1．浸润的核心素养 经历求解三角函数解析式的过程，掌握三角函数的图象与性质知识，提升解题能力，灵活掌握三角函数平移变换，培养直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．渗透的数学思想 (1)作三角函数的图象、解三角不等式、研究三角函数的性质，都是数形结合思想的应用． (2)在解决较复杂的三角函数问题时，一般总是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．证明三角恒等式及条件求值问题中，常常是化繁为简、化异为同、化切为弦，有时逆用公式，这些都体现了转化与化归思想． 融通点(一)　利用正、余弦函数的性质求参数 [典例1]　已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递减，则ω的取值范围是________． [解析]　由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋. 又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z， 所以k∈Z， 解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z. 又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈. [答案]　 [方法技巧] 已知三角函数的单调区间确定参数ω的取值范围的步骤 首先，明确所给单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系求解；另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷．　　 [针对训练] 1．已知函数f(x)＝cos(ω＞0)在区间上单调递减，则实数ω的取值范围为(　 ) A.　　　　　　　　　 B．(1,2] C．(0,1] D. 解析：选A　由题意有T＝≥π，可得0＜ω≤2，又由＜＋≤，必有＋≤π，可得0＜ω≤. 2．(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________． 解析：因为f(x)＝cos(ωx＋φ)，(ω＞0,0＜φ＜π)， 所以最小正周期T＝， 因为f(T)＝cos＝cos(2π＋φ)＝cos φ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝. 即f(x)＝cos.又x＝为f(x)的零点，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z. 解得ω＝3＋9k，k∈Z.因为ω＞0， 所以当k＝0时ωmin＝3. 答案：3 融通点(二)　与三角函数零点有关的问题 [典例2]　(2023·徐州期中)已知f(x)＝2sin(2x＋φ)，φ∈(－π，0)，一条对称轴为x＝，若关于x的方程f(x)＝，在有两个不同的实数根，则m的取值范围为(　 ) A．(－4，－2] B．[－4，－2] C．[2，4) D．[2，4] [解析]　因为x＝是函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的一条对称轴，所以2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z. 又φ∈(－π，0)，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin. 又f(x)＝，x∈，即sin＝，x∈， 设t＝2x－，则t∈， 所以sin t＝在t∈上有两个零点， 即y＝sin t与y＝在t∈上有两个交点，如图所示． 因为当t＝－时，sin t＝－， 所以－1<≤－，即－4<m≤－2. [答案]　A [方法技巧] 与三角函数有关的方程的根或函数的零点问题一般要借助于函数的图象，利用图象特征求解，或转化为两个函数图象的交点问题．　　 [针对训练] 3．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的周期为π，当x∈时，方程f(x)＝m恰有两个不同的实数解x1，x2，则f(x1＋x2)＝(　 ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析：选B　由T＝＝π，得ω＝2. ∴f(x)＝2sin. 作出函数f(x)在x∈上的图象如图所示． 由图可知x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝2sin＝2×＝1. 4．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)，f(4)＝f(2)－6，且f(x)在[2,4]上单调．设函数g(x)＝f(x)－1，且g(x)的定义域为[－5,8]，则函数g(x)的所有零点之和等于________． 解析：由f(x)＝3sin(ωx＋φ)，得－3≤f(x)≤3. 因为f(4)＝f(2)－6，所以f(2)＝3，f(4)＝－3. 则f(x)在[2,4]上单调递减，且＝2，T＝4＝， 所以ω＝.由f(2)＝3sin＝3， 可得φ＝－＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<π，所以φ＝－，即f(x)＝3sin.令t＝x－，画出y＝3sin t的图象如图所示． 当x∈[－5,8]时，t∈，g(x)＝f(x)－1＝0，即f(x)＝1，在上共有六个根，t1＋t2＋…＋t6＝－3π＋π＋5π＝3π，即＋＋…＋＝3π，则x1＋x2＋…＋x6＝12. 答案：12 融通点