8.2.2 函数的实际应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

51 / 326 　　　　　　　8.2.2　函数的实际应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 几类常见函数的模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 微点助解 1．应用函数模型解决应用问题的注意事项 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型； (2)要特别关注实际问题中的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域； (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 2．用函数建立数学模型的关键 一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量、建立平面直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言； 二是对得到的函数模型进行解答，得到数学问题的解． [基点训练] 1．判断正误： (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来描述．(　 ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　 ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　 ) (4)无论运用哪种函数模型，解决实际问题都要注重实际条件的限制．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　 ) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 答案：C 3．为解决老百姓买药贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是(　 ) A．y＝m(1－x)2 B．y＝m(1＋x)2 C．y＝2m(1－x) D．y＝2m(1＋x) 解析：选A　第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2. 题型(一)　二次函数模型 [典例]　据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点． (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ [解]　(1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝0.1. 所以y＝0.1(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)． (2)设月利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－[0.1(x－15)2＋17.5]＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．所以月产量为23吨时，可获得最大利润为12.9万元． [方法技巧]　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 [针对训练] 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解：(1)如图，作PQ⊥AF于点Q， ∴PQ＝8－y，EQ＝x－4. ∵PQ∥DF，∴△EDF∽△EPQ. ∴＝，即＝. ∴y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50,4≤x≤8. ∴S(x)是关于x的二次函数，且图象开口向下，对称轴为直线x＝10. ∴当x∈[4,8]时，S(x)单调递增． ∴当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米． 题型(二)　分段函数模型 [典例]　某超市引进A，B两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为