8.1.1 函数的零点（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

51 / 326 　　第8章　函数应用 8．1.1　函数的零点(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2．会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数． (一)函数的零点 1. 函数零点的概念 一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点． 2．函数零点、方程、函数图象之间的关系 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系： 微点助解 (1)函数的零点不是一个点，而是一个数，当自变量取该数时，其函数值等于零． (2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点． (3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内． (4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． [基点训练] 1．下列各图象表示的函数中，没有零点的是(　 ) 解析：选D　结合函数零点的定义可知选项D没有零点． 2．函数f(x)＝2 022x－2 023的零点是(　 ) A. B．2 023 C．－2 023 D. 答案：D 3．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个． 解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5).(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2. 答案：3 (二)函数零点存在定理 一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点． 微点助解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0； (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分且不必要条件； (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． [基点训练] 1.判断正误： (1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点．(　 ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　 ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则(　 ) A．方程f(x)＝0一定有一实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：选D　∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)内可能无实数解． 3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　 ) A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2) 解析：选D　由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)． 题型(一)　求函数的零点 [典例]　(1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点； (2)求函数f(x)＝的零点． [解]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. [变式拓展] 1．将本例(1)的题设改为：若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值． 解：由函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4，知方程x2＋ax＋b＝0的两个根是2和－4，由根与系数的关系可知解得a＝2，b＝－8.即a，b的值分别是2和－8. 2．将本例(1)的题设改为：已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和－. [方法技巧]　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点 几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 [针对训练] (多选)方程(x2－4)＝0的解可以是(　 ) A．x＝－2 B．x＝－ C．x＝ D．x＝2 解析：选CD　由题意，得方程(x2－