7.3.1 三角函数的周期性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

168 / 168 　　　　7.3.1　三角函数的周期性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 三角函数是一类最典型的周期函数，函数的周期性在研究函数性质中占有主要地位，掌握求函数周期性的方法是本节的重点，利用函数的周期性求值是本节的难点． 1．周期函数的定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期． 2．最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数的周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是. 4．正切函数的周期 正切函数是周期函数，最小正周期是. 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期 一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝. 微点助解 (1)周期函数的定义是对定义域内的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期． (2)从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f(2x)恒成立时，T不是f(2x)的周期． (3)如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也一定是函数f(x)的周期． (4)设周期为T的函数的定义域为M，若x∈M，则必有x＋nT∈M(n∈Z且n≠0)，因此周期函数的定义域一定是无限集． (5)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． (6)并非所有的周期函数都有最小正周期．例如，对于常函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，因为最小正数不存在，所以常函数没有最小正周期． (7)说明某正数是函数的最小正周期，只需说明比该正数小的任意正数不是该函数的周期即可． [基点训练] 1．下列函数中，周期为的是(　 ) A．y＝sin　　　　　　　 B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos(－4x) 答案：D 2．若函数y＝f(x)的周期是4，且f(2)＝0，则f(22)＝________. 答案：0 3．由于sin＝sin，那么是不是函数y＝sin x的一个周期？ 解：在函数周期性的定义中，要求对定义域中的每一个x值都有f(x＋T)＝f(x)成立．对于个别的x0，虽有f(x0＋T)＝f(x0)，但不能说T是函数f(x)的周期．如当x＝0时，sin＝sin＝1，而sin 0＝0，故sin≠sin 0，所以不是函数y＝sin x的一个周期． 题型(一)　求三角函数的周期 [典例]　求下列函数的最小正周期． (1)y＝3cos(x∈R)； (2)y＝2sin(x∈R)； (3)y＝2sin(x∈R)． [解]　(1)ω＝，则T＝＝8π. (2)ω＝－2，则T＝＝π. (3)ω＝3，则T＝＝. [方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法 (1)公式法：将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝求得． (2)定义法：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么非零常数T叫作这个函数的周期．　　 [针对训练] 1.(多选)下列函数中，最小正周期为2π的是(　 ) A．y＝sin 2x B．y＝cosx C．y＝ D．y＝cos 解析：选CD　y＝sin 2x的最小正周期T＝＝π，A不正确；y＝cosx的最小正周期T＝＝4π，B不正确；y＝的最小正周期T＝＝2π，C正确；y＝cos的最小正周期T＝＝2π，D正确．故选C、D. 2．(多选)若函数f(x)＝sin ωx的最小正周期为4π，则ω的值可能是(　 ) A．2　　　　　 B. C．－ D．－2　 解析：选BC　因为函数f(x)＝sin ωx的最小正周期为4π，所以|ω|＝＝＝，ω＝±. 题型(二)　利用周期求函数值 [典例]　若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值． [解]　∵f(x)是以为周期的奇函数， ∴f＝－f＝－f ＝－f＝f＝f＝－f. 又∵f＝1，∴f＝－f＝－1. [方法技巧] (1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值． (2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．