4.2.2 指数函数的图象与性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.2.2　指数函数的图象与性质 第 1 课时　指数函数的图象与性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握指数函数的图象和性质. 2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域、值域的问题. 1.指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝时，y＝ 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. (2)由指数函数y＝ax的图象与直线x＝－1相交于点可知，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1. 微点助解 (1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方. (3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的大致图象. (4)底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象. [基点训练] 1.判断正误： (1)将函数y＝3x的图象向右平移2个单位长度得到y＝3x－2的图象.(　 ) (2)函数y＝ax(a>0，且a≠1)的最小值为0.(　 ) (3)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上单调递增.(　 ) (4)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)不具备奇偶性.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.函数y＝3－x的图象是(　 ) 答案：B 3.若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________. 解析：结合指数函数的性质可知，若y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，则a>1. 答案：(1，＋∞) 4.已知函数y＝2＋ax－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点的坐标为________. 答案：(2,3) 5.函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是________. 解析：由指数函数y＝2x在x∈[0,1]上单调递增知1≤2x≤2，所以y＝1－2x∈[－1,0]. 答案：[－1,0] 题型(一)　指数函数的图象 [典例]　(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　 ) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c (2)若b<－1，则函数y＝ax＋b(a>1)的图象必定不经过(　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析]　(1)作直线x＝1，由下到上分别与指数函数②，①，④，③相交(图略)，所以b<a<1<d<c. (2)y＝ax＋b的图象是由指数函数y＝ax(a>1)向下平移|b|个单位长度得到，且b<－1.如图，故选B. [答案]　(1)B　(2)B [方法技巧]　处理函数图象问题的策略 抓住特殊点 指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点 巧用图象变换 函数图象的平移变换(左右平移、上下平移) 利用函数的性质 奇偶性与单调性 [针对训练] 1.已知函数f(x)＝ax＋1－3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标为(　 ) A.(0，－2) B.(－1，－2) C.(－2,1) D.(0，－3) 解析：选B　令x＋1＝0，解得x＝－1.此时f(－1)＝1－3＝－2.所以点P的坐标为(－1，－2).故选B. 2.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2的图象？并画出相应图象. 解：由已知，得y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x的图象关于y轴的对称图象 得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2的图象，如图所示. 题型(二)　指数函数图象的应用 [典例]　(1)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－1,4)，则m＋n等于(　 ) A.3 B.