4.2.1 指数爆炸和指数衰减（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.2.1　指数爆炸和指数衰减(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.会从形式上判断一个函数是否是指数函数. 3.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题. 逐点清(一)　指数函数的概念 [多维度理解] 在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数y＝ax(x∈R)，这叫作指数函数，其中a>0，且a≠1. 微点助解 1.指数函数有4个特点 (1)定义域必须是R； (2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数； (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1. 2.指数函数中规定a大于0且不等于1的理由 (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义. (2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在. (3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1. 3.函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为什么是R? 指数的范围已经拓展到了实数，当a＞0，且a≠1，x是一个实数时，ax表示一个确定的实数，即ax(a＞0，且a≠1)对任意实数x都有意义，因此指数函数y＝ax的定义域是R. [细微点练明] 1.判断正误： (1)y＝x2是指数函数.(　 ) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数.(　 ) (3)y＝2x－1是指数函数.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2.函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　 ) A.a＝1或a＝3 B.a＝1 C.a＝3 D.a＞0且a≠1 解析：选C　若函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a－2＝1，a＞0，且a≠1，解得a＝3，故选C. 3.给出下列函数： ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(2a－1)x. 其中为指数函数的有________(填序号). 解析：对于③，－4x是－1与4x的乘积，故③不是指数函数；对于④，底数－4<0，故④不是指数函数；对于⑥，指数不是自变量x，而是x的函数x2，故⑥不是指数函数；对于②、⑦，底数x不是常数，故②、⑦不是指数函数.由指数函数的概念可知，①⑤⑧是指数函数. 答案：①⑤⑧ 逐点清(二)　求指数函数的解析式或值 [多维度理解] (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. [细微点练明] 1.已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝(　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析：选B　由f(1)＝2⇒a＝2⇒f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5. 2.如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b＋3)都是指数函数，则ab＝(　 ) A. B.1 C.9 D.8 解析：选D　根据题意可得2a＝1⇒a＝，－(b＋3)＝0⇒b＝－3，则ab＝－3＝8. 3.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于(　 ) A. B. C.2 D.3 解析：选A　设点C(0，m)(m>0)，则由已知条件可得A，E，B. 因为点E，B在指数函数y＝ax(a>1)的图象上，所以解得m＝2，所以a＝－(舍去)或a＝. 4.已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f＝a－＝＝5－，得a＝5，故f(x)＝5x.因此，f(3)＝53＝125. 答案：125 逐点清(三)　指数爆炸与衰减的应用 1.指数爆炸 (1)当底数a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸. (2)在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长. 2.指数衰减 如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0，叫作指数衰减.指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个常量. [典例]　某地2022年年底人口数为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区人口数的年平均增长率为1%，要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至