5.1.2 弧度制（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

5．1.2弧度制 (概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系． 2．明确圆周角度数和弧度数，有助于熟练掌握角度与弧度的互化． 3．掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数． 　　　 逐点清(一)　弧度制的概念 [多维度理解] 1．度量角的两种制度 角度制 定义 用度作单位来度量角的单位制 1度的角 1度的角等于周角的 弧度制 定义 以弧度为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．弧度数的计算 微点助解 　　角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用. 角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十 进制 弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 [细微点练明] 1．判断正误： (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．(　 ) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　 ) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　 ) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列说法正确的是(　 ) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 解析：选A　对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误． 3．时针经过四个小时，转过了(　 ) A． rad B．－ rad C． rad D．－ rad 解析：选B　因为时针顺时针旋转，转过一圈(12小时)的角度为－2π rad，所以时针经过四个小时，转过了·(－2π)rad＝－ raD． 逐点清(二)　角度制与弧度制的互化 [多维度理解] 换算公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.18′ 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 微点助解 角度与弧度互化的原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad， 充分利用1°＝ rad,1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· raD． [细微点练明] 1．若α＝－2 rad，则α的终边在(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　∵－π< －2<－，∴α是第三象限角．故选C． 2．(多选)下列转化结果正确的是(　 ) A．72°化成弧度是 B．－π化成角度是－660° C．－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 解析：选AD　因为72°＝72×＝，所以A正确．因为－π rad＝－600°，所以B不正确．因为－150°＝－ rad，所以C不正确．因为 rad＝15°，所以D正确． 3．将下表中的角度和弧度互化： 角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360° 弧度 π 答案： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 逐点清(三)　弧长公式与扇形面积公式 [多维度理解] 设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αr. (2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2. 微点助解 1．扇形弧长、面积公式的变形运用 (1)l＝|α|·r⇒|α|＝，r＝. (2)S＝|α|r2⇒|α|＝. 2．谨记两个注意点 (1)在弧度制中，弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负． (2)运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α是弧度． [细微点练明] 1．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　 ) A． B． C．9π D．10π 解析：选B　l＝＝＝. 2．(多选)若扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的2倍，则(　 ) A．扇形的面积不变 B．扇形的圆心角不变 C．扇形的面积变为原来的4倍 D．扇形的圆心角变为原来的