4.5.2 形形色色的函数模型（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.5.2　形形色色的函数模型(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 题型(一)　二次函数模型 [典例]　据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ [解]　(1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)， 将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5， 解得a＝0.1. 所以y＝0.1(x－15)2＋17.5(10≤x≤25). (2)设月利润为Q(x)， 则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－[0.1(x－15)2＋17.5]＝－0.1(x－23)2＋12.9(10≤x≤25). 所以月产量为23吨时，可获得最大利润为12.9万元. [方法技巧]　利用二次函数求最值的方法及注意点 方法 根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 注意点 取得最值时的自变量与实际意义是否相符 [针对训练] 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上. (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解：(1)如图，作PQ⊥AF于点Q， ∴PQ＝8－y，EQ＝x－4. ∵PQ∥DF，∴△EDF∽△EPQ. ∴＝，即＝. ∴y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50,4≤x≤8. ∴S(x)是关于x的二次函数，且图象开口向下，对称轴为直线x＝10. ∴当x∈[4,8]时，S(x)单调递增. ∴当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米. 题型(二)　分段函数模型 [典例]　某超市引进A，B两类有机蔬菜.在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克.若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，B类蔬菜的亏损为3元/千克.已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完.假设该超市A，B两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货x(x∈N,30≤x≤70)千克，假设A，B类有机蔬菜进货当天可售完的质量均为50千克. (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位：元)的表达式； (2)若f(x)≥322，求x的取值范围. [解]　(1)当x∈N,30≤x≤50时，f(x)＝3x＋50×5－3(100－x－50)＝6x＋100； 当x∈N,50<x≤70时，f(x)＝50×3＋5×(100－x)－1×(x－50)＝700－6x. 故f(x)＝ (2)当x∈N,30≤x≤50时，由6x＋100≥322，解得x≥37； 当x∈N,50<x≤70时，由700－6x≥322，解得x≤63. 故x的取值范围是{x∈N|37≤x≤63}. [方法技巧] 构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.　　 [针对训练] 某学校准备购买一批电脑，在购买前进行的市场调查显示：在相同品牌、质量与售后服务的条件下，甲、乙两公司的报价都是每台6 000元.甲公司的优惠条件是购买10台以上的，从第11台开始按报价的七折计算，乙公司的优惠条件是均按八五折计算. (1)分别写出在两公司购买电脑的总费用y甲，y乙与购买台数x之间的函数关系式. (2)根据购买的台数，你认为学校应选择哪家公司更合算？ 解：(1)由题意，得y甲＝ y乙＝5 100x(x∈N). (2)当x≤10时，显然y甲>y乙； 当x>10时，令y甲>y乙，即4 200x＋18 000>5 100x，解得x<20. 故当购买的台数小于20台时，应选择乙公司； 当购买的台数超过20台时，应选择甲公司； 当购买的台数为20台时，选择甲、乙公司均可. 题型(三)　指数型函数模型 [典例]　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (1)求t年后，这种放射