4.5.1 几种函数增长快慢的比较（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.5.1　几种函数增长快慢的比较(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长速度的差异. 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及几种函数模型的比较. 几种常见函数模型的增长差异 函数 性质　　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 a越大增长越快 a越小增长越快 k相同增长速度固定，k越大，增长速度越大 增长特点 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓 直线上升，其增长速度不变 增长速度 y＝ax(a＞1)的增长速度远远快于y＝kx(k＞0)的增长速度，y＝kx(k＞0)的增长速度快于y＝logax(a＞1)的增长速度 结果 在区间(0，＋∞)上，a>1，α>0，k>0.总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<kx＋b<xα<ax 微点助解 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型； (3)一次函数增长速度不变，平稳变化； (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. [基点训练] 1.判断正误： (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(　 ) (2)对任意的x＞0，kx＞logax.(　 ) (3)对任意的x＞0，ax＞logax.(　 ) (4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是(　 ) A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝3x D.y＝e－x 答案：A 3.某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用(　 ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 答案：D 4.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________. 答案：y＝－x＋50(0＜x＜200) 题型(一)　几个函数模型增长差异的比较 [典例]　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如下表： x 1 2 4 6 8 … y1 2 4 16 64 256 … y2 4 8 16 24 32 … y3 0 1 2 2.585 3 … 则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　 ) A.y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2x B.y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2x C.y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2x D.y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x [解析]　从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B. [答案]　B [方法技巧]　常见的函数模型及增长特点 一次函数模型 一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓 [针对训练] “红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是(　 ) A.指数函数y＝2t　　　　 B.对数函数y＝log2t C.幂函数y＝t3 D.二次函数y＝2t2 解析：选A　根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A. 题型(二)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [典例]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. 　 (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 023)，