4.4.1 方程的根与函数的零点（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.4.1　方程的根与函数的零点(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标　　　　　 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在的性质判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.函数零点、方程、函数图象之间的关系 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 微点助解 (1)函数的零点不是一个点，而是一个数，当自变量取该数时，其函数值等于零. (2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点. (3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内. (4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 2.函数零点存在的性质 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调递增或单调递减，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有一个根. 微点助解 (1)函数零点存在的性质必须同时满足：①函数f(x)在区间(a，b)内连续变化；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可.可从函数y＝来理解，易知f(－1)·f(1)＝－1×1＜0，但显然y＝在(－1,1)内没有零点. (2)函数零点存在的性质只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如图①②，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点. (3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0.例如：函数f(x)＝|x－1|在区间(0,2)内有1个零点，而f(0)·f(2)＝1＞0. (4)注意基本性质中对问题研究不考虑闭区间[a，b]的端点处，而是考虑开区间(a，b)内有无零点问题，若f(a)＝0或f(b)＝0，则a或b也是函数零点，但不是零点性质研究的内容. [基点训练] 1.判断正误： (1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.(　 ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.(　 ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　 ) (4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　 (4)× 2.下列选项中的图象对应的函数没有零点的是(　 ) 答案：D 3.函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　 ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(2,3) D.(1,2) 解析：选D　由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2). 4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 3 4 5 6 7 8 f(x) 123.56 21.45 －7.82 －11.57 53.76 126.49 则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有______个. 答案：2 题型(一)　求函数的零点 [典例]　(1)求函数f(x)＝－x2－4x－4的零点； (2)求函数f(x)＝的零点. [解]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2. [变式拓展] 1.将本例(1)的题设改为若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值. 解：由函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4，知方程x2＋ax＋b＝0的两个根是2和－4，由根与系数的关系可知解得a＝2，b＝－8. 即a，b的值分别是2和－8. 2.将本例(1)的题设改为已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－. 所以函数g(x)的零点为0和－. [方法技巧]　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点 几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 [针对训练] (多选)方程(x2－4)＝0的